Question

如右圖，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，BC=CD=

1

2

AB=2，G為線段AB的中點，將△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，得到幾何體A-BCDG．
（1）若E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點，求證：EF∥平面ABG；
（2）求證：AG⊥平面BCDG；
（3）求V_C-ABD的值

Answer 1

分析：（1）由題意，折疊前后CD，BG位置關(guān)系不改變得CD∥BG，由E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點可得EF∥CD利用平行線的傳遞性
得EF∥BG即可得EF∥平面ABC
（2）將△ADG沿GD折起后，AG，GD位置關(guān)系不改變即得AG⊥GD，然后由平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG=GD，
AG?面AGD 得AG⊥平面BCDG
（3）由（2）得AG⊥平面BCDG，即A到平面BCDG的距離AG=2，利用等體積法可所求幾何體的體積．

解答：（1）證明：依題意，折疊前后CD，BG位置關(guān)系不改變，∴CD∥BG
∵E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點，∴在△ACD中，EF∥CD∴EF∥BG
∵EF?平面ABC，BG?面ABC，∴EF∥平面ABC
（2）證明：將△ADG沿GD折起后，AG，GD位置關(guān)系不改變，∴AG⊥GD
∵平面ADG⊥平面BCDG，平面ADG∩平面BCDG=GD，AG?面AGD∴AG⊥平面BCDG
（3）解：由已知得BC=CD=AG=2  又由（2）得AG⊥平面BCDG，即A到平面BCDG的距離AG=2
∴V_C-ABC=V_A-BCD=

1

3

S△BCD •AG=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是個中檔題．