如圖，已知正四棱錐R－ABCD的底面邊長(zhǎng)為4，高為6，點(diǎn)P是高的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是側(cè)面RBC的重心．求：

(1)異面直線PQ與BR所成的角；

(2)直線PQ與底面ABCD所成的角．

答案：
解析：

　　解：以正四棱錐的底面中心O為原點(diǎn)，過O平行于AD的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

　　則R(0，0，6)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，

　　∵P是RO的中點(diǎn)，Q是△RBC的重心，

　∴P(0，0，3)，Q(0，，2)．

　　(1)＝(0，，－1)，＝(－2，－2，6)，

　　∴cos〈，〉＝．

　　∴異面直線PQ與BR所成的角為arccos．

　　(2)方法一：∵RQ⊥底面ABCD，

　　∴RE在底面的射影為OE．

　　∵Q∈RE，∴Q在底面上的射影在OE上．

　　∴PQ在底面上的射影為OE．

　　∴∠REO為PQ與底面ABCD所成的角．

　　∵E(0，2，0)，∴＝(0，2，0)．

　　∴cos〈，〉＝．

　　∴直線PQ與底面ABCD所成的角是arccos．

　　方法二：平面ABCD的一個(gè)法向量為n＝(0，0，1)，

　　∴cos〈，n〉＝．

　　∵〈，n〉為鈍角，∴PQ與平面ABCD所成的角為〈，n〉補(bǔ)角的余角．∴PQ與平面ABCD所成的角為．


提示：

本題考查了異面直線所成的角和直線與平面所成角的求法．通常有兩種方法：(1)“找→求”的常規(guī)法；(2)向量法．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•江蘇一模）某部門要設(shè)計(jì)一種如圖所示的燈架，用來安裝球心為O，半徑為R（米）的球形燈泡．該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個(gè)部件組成，其中圓弧形燈托
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所在圓的圓心都是O、半徑都是R（米）、圓弧的圓心角都是θ（弧度）；燈桿EF垂直于地面，桿頂E到地面的距離為h（米），且h＞R；燈腳FA1，F(xiàn)B1，F(xiàn)C1，F(xiàn)D1是正四棱錐F-A1B1C1D1的四條側(cè)棱，正方形A1B1C1D1的外接圓半徑為R（米），四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ（弧度）．已知燈桿、燈腳的造價(jià)都是每米a（元），燈托造價(jià)是每米
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（元），其中R，h，a都為常數(shù)．設(shè)該燈架的總造價(jià)為y（元）．
（1）求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)θ取何值時(shí)，y取得最小值？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)、徐州、連云港六市高考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

某部門要設(shè)計(jì)一種如圖所示的燈架，用來安裝球心為O，半徑為R（米）的球形燈泡．該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個(gè)部件組成，其中圓弧形燈托，，，所在圓的圓心都是O、半徑都是R（米）、圓弧的圓心角都是θ（弧度）；燈桿EF垂直于地面，桿頂E到地面的距離為h（米），且h＞R；燈腳FA1，F(xiàn)B1，F(xiàn)C1，F(xiàn)D1是正四棱錐F-A1B1C1D1的四條側(cè)棱，正方形A1B1C1D1的外接圓半徑為R（米），四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為θ（弧度）．已知燈桿、燈腳的造價(jià)都是每米a（元），燈托造價(jià)是每米（元），其中R，h，a都為常數(shù)．設(shè)該燈架的總造價(jià)為y（元）．
（1）求y關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)θ取何值時(shí)，y取得最小值？

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