已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π6
)
+2cos2x.
(1)求f(x)的最大值以及使f(x)取得最大值的x的集合;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
分析:(1)把函數(shù)f(x)利用兩角差的正弦函數(shù)公式、特殊角的三角函數(shù)值及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后,化為一個(gè)角的正弦函數(shù),根據(jù)正弦函數(shù)的角度等于2kπ+
π
2
時(shí),正弦函數(shù)最大值為1得到f(x)的最大值,并求出此時(shí)x的范圍即可得到x的集合;
(2)根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間為(2kπ-
π
2
,2kπ+
π
2
)列出關(guān)于x的不等式,即可求出x的范圍.
解答:解:(1)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x
+1+cos2x=
3
2
sin2x+
1
2
cos2x
+1=sin(2x+
π
6
)
+1.
∴f(x)的最大值為2.
又由2x+
π
6
=2kπ+
π
2
,可得x=kπ+
π
6

故使f(x)取得最大值時(shí)x的集合為{x|x=kπ+
π
6
,k∈Z}

(2)令2kπ-
π
2
2x+
π
6
2kπ+
π
2

可得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
π
3
kπ+
π
6
](k∈Z).
點(diǎn)評(píng):此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用二倍角的余弦函數(shù)公式、兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值,掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,是一道中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(附加題)
(Ⅰ)設(shè)非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當(dāng)x∈S時(shí)有x2∈S,給出下列四個(gè)結(jié)論:
①若m=2,則l=4
②若m=-
1
2
,則
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,則-
2
2
≤m≤0
④若m=1,則S={1},
其中正確的結(jié)論為
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若對(duì)于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,則b的取值范圍為
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個(gè)數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ)  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個(gè)數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
(其中x>0),設(shè)該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn,
數(shù)列{f(bn)}的前n項(xiàng)和為Tn,求證Tn
2009
2010

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面積S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
;
(Ⅲ)對(duì)一個(gè)實(shí)數(shù)集合M,若存在實(shí)數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過s,則稱s是M的一個(gè)上界.已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a
所有項(xiàng)組成的集合的上界(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)a的最大值.

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