(本小題滿分13分)
設(shè)函數(shù)對任意的實數(shù),都有,且當(dāng)時,。
(1)若時,求的解析式;
(2)對于函數(shù),試問:在它的圖象上是否存在點,使得函數(shù)在點處的切線與平行。若存在,那么這樣的點有幾個;若不存在,說明理由。
(3)已知,且 ,記,求證: 。
解:(1);(2)滿足題意的點有5個;(3) .
【解析】本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解,以及過點的切線方程的問題,和不等式的證明 的綜合運用。
(1)第一問中將所求的變量轉(zhuǎn)化為已知的區(qū)間,利用已知的關(guān)系式求解得到解析式。
(2)在第一問的基礎(chǔ)上進一步得到函數(shù)的一般式,然后利用導(dǎo)數(shù)的思想,只要判定導(dǎo)函數(shù)為零,方程有無解即可。
(3)在第二問的得到函數(shù)的單調(diào)性,以及函數(shù)的最大值,然后結(jié)合函數(shù)的最值得到不等式,再結(jié)合等比數(shù)列的求和的思想得到。
解:(1)∵
設(shè),則,∴!2分
(2)設(shè),則,
∴
∴,即為………4分
∵
∴問題轉(zhuǎn)化為判斷:關(guān)于的方程在,內(nèi)是否解,即在,內(nèi)是否有解,……………………6分
令
函數(shù) 的圖象是開口向上的拋物線,其對稱軸是直線,
判別式,
且,,
當(dāng)時,∵,
∴方程分別在區(qū)間上各有一解,即存在5個滿足題意的點
②當(dāng)時,∵,∴方程在區(qū)間上無解。
綜上所述:滿足題意的點有5個。 …………………………9分
(3)由(2)可知:
∴當(dāng)時,,在上遞增;
當(dāng)時,,在上遞減。
∴當(dāng)時,,
又
∴對任意的,當(dāng)時,都有,
∴。
∴ …………………………13分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆江西省高一第二次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值;
(2)在給出的直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.
(3)設(shè)0<x<,且方程有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省高三年級八月份月考試卷理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省高三年級八月份月考試卷理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知集合, ,.
(1)求(∁; (2)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:河南省09-10學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(理科) 題型:解答題
(本小題滿分13分)如圖,正三棱柱的所有棱長都為2,為的中點。
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成的角。www.7caiedu.cn
[來源:KS5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年福建省高三5月月考調(diào)理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{}的首項.
(1) 求函數(shù)的表達式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面積
(3) 求數(shù)列的前項和
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