(本題15分)已知點(diǎn)是橢圓E)上一點(diǎn),F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),PF1x軸.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)A、B是橢圓E上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),).求證:直線(xiàn)AB的斜率為定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當(dāng)△PAB面積取得最大值時(shí),求λ的值.

(1)  (2)根據(jù)已知的向量的坐標(biāo)關(guān)系,結(jié)合點(diǎn)差法來(lái)得到直線(xiàn)的斜率。
(3)

解析試題分析:解:(Ⅰ)∵PF1x軸,
F1(-1,0),c=1,F2(1,0),
|PF2|=,2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2,b2=3,
橢圓E的方程為:;…………………4分
(Ⅱ)設(shè)Ax1,y1)、Bx2,y2),由
x1+1,y1-)+(x2+1,y2-)=(1,- ),
所以x1+x2=-2,y1+y2=(2-………①
,
兩式相減得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0………..②
以①式代入可得AB的斜率k=為定值; ……………9分
(Ⅲ)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=x+t,
聯(lián)立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0,   △=3(4-t2),
AB|=,
點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為d=,
PAB的面積為S=|ABd=, ………10分
設(shè)ft)=S2=t4-4t3+16t-16) (-2<t<2),
f’(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2,由f’(t)=0及-2<t<2得t=-1.
當(dāng)t∈(-2,-1)時(shí),f’(t)>0,當(dāng)t∈(-1,2)時(shí),f’(t)<0,ft)=-1時(shí)取得最大值,
所以S的最大值為.此時(shí)x1+x2=-t=1=-2,=3. ………………15分
考點(diǎn):橢圓的方程,向量
點(diǎn)評(píng):解析幾何中的圓錐曲線(xiàn)的求解,一般運(yùn)用待定系數(shù)法來(lái)求解,同時(shí)運(yùn)用設(shè)而不求的思想來(lái)研究直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓 經(jīng)過(guò)點(diǎn)其離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于AB兩點(diǎn),以線(xiàn)段為鄰邊作平行四邊形OAPB,其中頂點(diǎn)P在橢圓上,為坐標(biāo)原點(diǎn).求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系中,的兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是(-1,0),(1,0),點(diǎn)的重心,軸上一點(diǎn)滿(mǎn)足,且.
(1)求的頂點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)不過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與軌跡交于不同的兩點(diǎn)、,當(dāng)時(shí),求的關(guān)系,并證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為,求△AOB面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖,為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),弦、分別過(guò)焦點(diǎn),當(dāng)垂直于軸時(shí),恰好有

(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè).
①當(dāng)點(diǎn)恰為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),求的值;
②當(dāng)點(diǎn)為該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),試判斷是否為定值?
若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本題滿(mǎn)分15分)
在平面內(nèi),已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,橢圓的離心率為 ,點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn), 且
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)以橢圓的上頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形,這樣的等腰直角三角形是否存在?若存在請(qǐng)說(shuō)明有幾個(gè)、并求出直角邊所在直線(xiàn)方程?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,,是拋物線(xiàn)(為正常數(shù))上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)P,與y軸交于點(diǎn)Q,且

(Ⅰ)求證:直線(xiàn)AB過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn);
(Ⅱ)是否存在直線(xiàn)AB,使得若存在,求出直線(xiàn)AB的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿(mǎn)分16分)
已知橢圓的離心率為,一條準(zhǔn)線(xiàn)

(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),上的點(diǎn),為橢圓的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)FOM的垂線(xiàn)與以OM為直徑的圓交于兩點(diǎn).
①若,求圓的方程;
②若l上的動(dòng)點(diǎn),求證:點(diǎn)在定圓上,并求該定圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓:的一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為.直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)△AMN得面積為時(shí),求的值.

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