Question

（12分）設(shè)集合W是滿足下列兩個條件的無窮數(shù)列{a_n}的集合：
①  ②，其中n∈N^*，M是與n無關(guān)的常數(shù)
(1)若{a_n}是等差數(shù)列，S_n是其前n項的和，a₃=4，S₃=18，試探究{S_n}與集合W之間的關(guān)系；
(2)設(shè)數(shù)列{b_n}的通項為b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值為m，求m的值；
(3)在(2)的條件下，設(shè)，求證：數(shù)列{C_n}中任意不同的三項都不能成為等比數(shù)列．

Answer 1

(1) {S_n}W ；  (2) M的最小值為7； (3) 見解析.

第一問利用S_n=-n²+9n
滿足①  當n=4或5時，S_n取最大值20
第二問中b_n+1-b_n=5-2ⁿ可知{b_n}中最大項是b₃=7
∴ M≥7   M的最小值為7             …………8分
第三問中，假設(shè){C_n}中存在三項b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）
成等比數(shù)列，則b_q²=b_p­·b_r
∴
∴
∵ p、q、r∈N^*      
∴ p=r與p≠r矛盾
解：(1) S_n=-n²+9n
滿足①
   當n=4或5時，S_n取最大值20
∴S_n≤20滿足②  ∴{S_n}∈W         …………4分
(2) b_n+1-b_n=5-2ⁿ可知{b_n}中最大項是b₃=7
∴ M≥7   M的最小值為7             …………8分
(3) ，假設(shè){C_n}中存在三項b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）
成等比數(shù)列，則b_q²=b_p­·b_r
∴
∴
∵ p、q、r∈N^*      
∴ p=r與p≠r矛盾
∴ {C_n}中任意不同的三項都不能成為等比數(shù)列  …………12分