Question

已知函數的反函數為，設的圖象上在點處的切線在y軸上的截距為，數列{}滿足： 
（Ⅰ）求數列{}的通項公式；
（Ⅱ）在數列中，僅最小，求的取值范圍；
（Ⅲ）令函數數列滿足,求證：對一切n≥2的正整數都有 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范圍為；（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）將函數的反函數求出來，可得，
再由得 
是以2為首項，l為公差的等差數列，由此可得數列{}的通項公式
（Ⅱ）求出函數的反函數在點處的切線的截距即得
將，的通項公式代入得：
這是一個二次函數，但n只取正整數，畫出圖象可以看出當對稱軸介于與之間的時候，就僅有最小，，解這個不等式即可得的取值范圍
（Ⅲ）由題設可得：結合待證不等式可看出，可將這個等式兩邊取倒數，這樣可得： ，從而

 
又遞推公式可知，各項為正，所以

試題解析：（Ⅰ）
∴函數的反函數 
則得 
是以2為首項，l為公差的等差數列，故            （3分）
（Ⅱ） 在點處的切線方程為
令， 得
           （6分）
依題意，僅當時取得最小值，
，解之
∴的取值范圍為                  （8分）
（Ⅲ）故 
又故，

 
又
故                             （14分）