【題目】如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角銳角的余弦值．

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）取中點為，通過證明//，進而證明線面平行；

（2）取中點為，以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，求得兩個平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.

（1）證明：取的中點，連結(jié)，，如下圖所示：

在中，因為 為的中點，

，且，

又為的中點，，

，且，

，且，

四邊形為平行四邊形，

又平面，平面，

平面，即證.

（2）取中點，連結(jié)，，則，平面，

以為原點，分別以，，為，，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則，，，，，

，，，

設(shè)平面的一個法向量，

則，則，

令．則，

同理得平面的一個法向量為，

則，

故平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年10月1日，慶祝中華人民共和國成立70周年大會、閱兵式、群眾游行在北京隆重舉行，這次閱兵編59個方（梯）隊和聯(lián)合軍樂團，總規(guī)模約1.5萬人，各型飛機160余架、裝備580余套，是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次.某機構(gòu)統(tǒng)計了觀看此次閱兵的年齡在30歲至80歲之間的100個觀眾，按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值及這100個人的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）用分層抽樣的方法在年齡為、的人中抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取2人接受采訪，求接受采訪的2人中年齡在的恰有1人的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年國際籃聯(lián)籃球世界杯，將于2019年在的北京、廣州、南京、上海、武漢、深圳、佛山、東莞八座城市舉行.為了宣傳世界杯，某大學(xué)從全校學(xué)生中隨機抽取了名學(xué)生，對是否收看籃球世界杯賽事的情況進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

會收看

不會收看

男生

60

20

女生

20

20

（1）根據(jù)上表說明，能否有的把握認為收看籃球世界杯賽事與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且收看籃球世界杯賽事的學(xué)生中，采用按性別分層抽樣的方法選取人參加2019年國際籃聯(lián)籃球世界杯賽志愿者宣傳活動.

（i）求男、女學(xué)生各選取多少人；

（ii）若從這人中隨機選取人到校廣播站開展2019年國際籃聯(lián)籃球世界杯賽宣傳介紹，求恰好選到名男生的概率.

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】3月底，我國新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外確診病例卻持續(xù)暴增，防疫物資供不應(yīng)求，某醫(yī)療器械廠開足馬力，日夜生產(chǎn)防疫所需物品.已知該廠有兩條不同生產(chǎn)線和生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬件，為保證質(zhì)量，現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取20件，進行品質(zhì)鑒定，鑒定成績的莖葉圖如下所示：

該產(chǎn)品的質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：鑒定成績達到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為優(yōu)秀；鑒定成績達到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為良好；鑒定成績達到的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為合格.將這組數(shù)據(jù)的頻率視為整批產(chǎn)品的概率.

（1）從等級為優(yōu)秀的樣本中隨機抽取兩件，記為來自機器生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量，寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望；

（2）請完成下面質(zhì)量等級與生產(chǎn)線產(chǎn)品列聯(lián)表，并判斷能不能在誤差不超過0.05的情況下，認為產(chǎn)品等級是否達到良好以上與生產(chǎn)產(chǎn)品的生產(chǎn)線有關(guān).

生產(chǎn)線的產(chǎn)品

生產(chǎn)線的產(chǎn)品

合計

良好以上

合格

合計

附：

0.10

0.05

0.01

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機抽取了100名高中生，根據(jù)問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：

作文成績優(yōu)秀

作文成績一般

總計

課外閱讀量較大

35

20

55

課外閱讀量一般

15

30

45

總計

50

50

100

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有99.5%的把握認為課外閱讀量的大小與作文成績優(yōu)秀有關(guān)；

（2）若用分層抽樣的方式從課外閱讀量一般的高中生中選取了6名高中生，再從這6名高中生中隨機選取2名進行面談，求面談的高中生中至少有1名作文成績優(yōu)秀的概率．

附：，其中．

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓的焦點為，，在上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不過原點的直線與橢圓交于，兩點，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，則當(dāng)的面積為時，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】端午節(jié)（每年農(nóng)歷五月初五），是中國傳統(tǒng)節(jié)日，有吃粽子的習(xí)俗.某超市在端午節(jié)這一天，每售出kg粽子獲利潤元，未售出的粽子每kg虧損元.根據(jù)歷史資料，得到銷售情況與市場需求量的頻率分布表，如下表所示.該超市為今年的端午節(jié)預(yù)購進了kg粽子.以（單位：kg，）表示今年的市場需求量，（單位：元）表示今年的利潤.

市場需求量（kg）

頻率

0.1

0.2

0.3

0.25

0.15

（1）將表示為的函數(shù)；

（2）在頻率分布表的市場需求量分組中，以各組的區(qū)間中間值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中間值的概率（例如：若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率），求的數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線C：（）的焦點為F，經(jīng)過點F的動直線l交拋物線C于，兩點，且.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若（O為坐標(biāo)原點），且點E在拋物線C上，求直線l的傾斜角；

（3）若點M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點，直線，，斜率分別為，，，求證：當(dāng)為定值時，也為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造．如圖，將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通（道路不計寬度），l1和l2所在直線的距離為0.5（百米），對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5（百米）（其中A為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸垂直于l3，且交l3于M），在堤岸線l3上的E，F兩處建造建筑物，其中E，F到M的距離為1（百米），且F恰在B的正對岸（即BF⊥l3）．

（1）在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求棧道AB的方程；

（2）游客（視為點P）在棧道AB的何處時，觀測EF的視角(∠EPF)最大？請在（1）的坐標(biāo)系中，寫出觀測點P的坐標(biāo)．

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同步練習(xí)冊答案