設(shè)橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),拋物線C2:x2+by=b2
(1)若C2經(jīng)過(guò)C1的兩個(gè)焦點(diǎn),求C1的離心率;
(2)設(shè)A(0,b),Q(3
3
,
5
4
)
,又M、N為C1與C2不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△AMN的垂心為B(0,
3
4
b)
,且△QMN的重心在C2上,求橢圓C和拋物線C2的方程.
分析:(1)由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線上,可得:c2=b2,由a2=b2+c2,求得C1的離心率;
(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱,設(shè)M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),由△AMN的垂心為B,根據(jù)三角形的垂心是三條高線的交點(diǎn),可知
BM
AN
=0
,再根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式求得△QMN的重心,代入拋物線C2:x2+by=b2,即可求得橢圓C和拋物線C2的方程.
解答:精英家教網(wǎng)解:
(1)由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線上,可得:c2=b2,
a2=b2+c2=2c2,有
c2
a2
=
1
2
?e=
2
2

(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱,設(shè)M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),由△AMN的垂心為B,有
BM
AN
=0?-
x
2
1
+(y1-
3
4
b)(y1-b)=0

由點(diǎn)N(x1,y1)在拋物線上,x12+by1=b2,解得:y1=-
b
4
y1=b(舍去)

x1=
5
2
b,M(-
5
2
b,-
b
4
),N(
5
2
b,-
b
4
)
,
得△QMN重心坐標(biāo)(
3
,
b
4
)

由重心在拋物線上得:3+
b2
4
=b2,所以b=2
,M(-
5
,-
1
2
),N(
5
,-
1
2
)

又因?yàn)镸、N在橢圓上得:a2=
16
3
,
橢圓方程為
x2
16
3
+
y2
4
=1
,拋物線方程為x2+2y=4.
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)中檔題.考查橢圓和拋物線的定義、基本量,通過(guò)交點(diǎn)三角形來(lái)確認(rèn)方程.考查拋物線的定義和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),特別是問(wèn)題(2)的設(shè)問(wèn)形式,增加了題目的難度,同時(shí)考查了三角的垂心和重心有關(guān)性質(zhì)和公式,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過(guò)橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn).
(1)求橢圓C2的離心率;
(2)設(shè)Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△QMN的重心在拋物線C1上,求C1和C2的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C1:x2+by=b2經(jīng)過(guò)橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn).設(shè)Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△QMN的重心(中線的交點(diǎn))在拋物線C1上,
(1)求C1和C2的方程.
(2)有哪幾條直線與C1和C2都相切?(求出公切線方程)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•浦東新區(qū)二模)(1)設(shè)橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
與雙曲線C29x2-
9y2
8
=1
有相同的焦點(diǎn)F1、F2,M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn),且△MF1F2的周長(zhǎng)為6,求橢圓C1的方程;
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”.
(2)如圖,已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3<x≤4)
.設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F(1,0)的距離為d1,M到直線l:x=3的距離為d2,求證:d1+d2為定值; 
(3)由拋物線弧E1:y2=4x(0≤x≤
2
3
)與第(1)小題橢圓弧E2
x2
a2
+
y2
b2
=1
2
3
≤x≤a
)所合成的封閉曲線為“盾圓E”.設(shè)過(guò)點(diǎn)F(1,0)的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn),|FA|=r1,|FB|=r2且∠AFx=α(0≤α≤π),試用cosα表示r1;并求
r1
r2
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)以F1、F2為左、右焦點(diǎn),離心率e=
1
2
,一個(gè)短軸的端點(diǎn)(0,
3
);拋物線C2:y2=4mx(m>0),焦點(diǎn)為F2,橢圓C1與拋物線C2的一個(gè)交點(diǎn)為P.
(1)求橢圓C1與拋物線C2的方程;
(2)直線l經(jīng)過(guò)橢圓C1的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2交于A1,A2兩點(diǎn),如果弦長(zhǎng)|A1A2|等于△PF1F2的周長(zhǎng),求直線l的斜率.

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