Question

已知兩個正數(shù)a，b，可按規(guī)則c=ab+a+b擴充為一個新數(shù)c，在a，b，c三個數(shù)中取兩個較大的數(shù)，按上述規(guī)則擴充得到一個新數(shù)，依次下去，將每擴充一次得到一個新數(shù)稱為一次操作．
（1）若a=1，b=3，按上述規(guī)則操作三次，擴充所得的數(shù)是________；
（2）若p＞q＞0，經過6次操作后擴充所得的數(shù)為（q+1）^m（p+1）ⁿ-1（m，n為正整數(shù)），則m，n的值分別為________．

Answer 1

解：（1）a=1，b=3，按規(guī)則操作三次，
第一次：c=ab+a+b=1×3+1+3=7
第二次，7＞3＞1所以有：c=3×7+3+7=31
第三次：31＞7＞3所以有：c=7×31+7+31=255
2、p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1
因為c＞p＞q，所以第二次得：c₂=（c₁+1）（p+1）-1=（pq+p+q）p+p+（pq+p+q）=（p+1）²（q+1）-1
所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，所以第三次可得c₃=（c₂+1）（c₁+1）-1=（p+1）³（q+1）²-1
第四次可得：c₄=（c₃+1）（c₂-1）-1=（p+1）⁵（q+1）³-1
故經過6次擴充，所得數(shù)為：（q+1）⁸（p+1）¹³-1
∴m=8，n=13
故答案為：255；8，13
分析：（1）a=1，b=3，按規(guī)則操作三次，第一次：c=7；第二次c=31；第三次c=255；
（2）p＞q＞0 第一次得：c₁=pq+p+q=（q+1）（p+1）-1；第二次得：c₂=（p+1）²（q+1）-1；所得新數(shù)大于任意舊數(shù)，故經過6次擴充，所得數(shù)為：（q+1）⁸（p+1）¹³-1，故可得結論
點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力