Question

.(本小題滿分12分）

 如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面為正方形，PA丄平面ABCD,且PA=AD,E為棱PC上的一點(diǎn),PD丄平面

(I)求證:E為PC的中點(diǎn)；

(II)若N為CD的中點(diǎn)，M為AB上的動點(diǎn)，當(dāng)直線MN與平面ABE所成的角最大時,求二面角的大小.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）過作交于,由

可知

四點(diǎn)共面，…………………2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052307190093754019/SYS201205230720272656341267_DA.files/image008.png">

∴,

∵

∴在中，,………………………4分

∴可得E為PC的中點(diǎn)．……………………6分

（Ⅱ）連結(jié)

連結(jié)，則為直線MN與平面ABE所成的角．

在中，

∴最小時，最大，此時．

所以M為AB中點(diǎn)，……………………………9分

則．

由，

可知

設(shè)，

.……………12分

法二（Ⅰ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則，.………………2分

設(shè),

，…………………4分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052307190093754019/SYS201205230720272656341267_DA.files/image036.png">  , ，

，

即,.……………………6分

（Ⅱ）設(shè)，,

由（Ⅰ）知面的法向量為，

設(shè)MN與面ABE所成角為,

當(dāng)t=時，最大，此時M為AB中點(diǎn),…………………9分

平面NEM的法向量為 設(shè)平面CEM的法向量為

   而

    令

，

.……………………12分

 

【解析】略