Question

已知cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-

4

5

且450°＜β＜540°，求cos2β和sin（

2π

3

+2β）．

Answer 1

分析：先利用余弦的兩角和公式對(duì)題設(shè)等式化簡(jiǎn)整理求得cosβ的值，利用二倍角公式求得cos2β，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系及β的范圍求得sin2β的值，進(jìn)而利用正弦的兩角和公式求得sin（

2π

3

+2β）的值．

解答：解：cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=cos（α+β-α）=cosβ=-

4

5

∴cos2β=2cos²β=

7

25

∵450°＜β＜540°
∴900°＜2β＜1080°
∴sin2β=

1-( 7 25 )2

=

24

25

∴sin（

2π

3

+2β）=sin

2π

3

cos2β+cos

2π

3

sin2β=

24+7 3

50

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差正弦和余弦，同角三角函數(shù)基本關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．