(04年全國(guó)卷III文)(12分)

三棱錐P-ABC中,側(cè)面PAC與底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.

(1)求證 AB⊥BC ;

(II)如果 AB=BC=2,求側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的大。

 

解析:⑴證明:取AC中點(diǎn)O, 連結(jié)PO、BO.

∵PA=PC ∴PO⊥AC 

又∵側(cè)面PAC⊥底面ABC

∴PO⊥底面ABC

又PA=PB=PC ∴AO=BO=CO

∴△ABC為直角三角形 ∴AB⊥BC

⑵解:作OD⊥PC于D, 連結(jié)BD

∵AB=BC=2, AB⊥BC,AO=CO ∴BO⊥AC, 側(cè)面PAC⊥底面ABC

∴BO⊥側(cè)面PAC, ∴BD⊥PC 

∴∠BDO為側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角的平面角.

∵AB=BC=2, AB⊥BC,AO=CO

∴BO=CO=,PO= ∴

∴tg∠BDO= ∴∠BDO=

即側(cè)面PBC與側(cè)面PAC所成二面角為.

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