【題目】已知雙曲線C:x2-y2=1及直線l:y=kx+1.
(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數k的取值范圍;
(2)若l與C交于A,B兩點,且線段AB中點的橫坐標為,求線段AB的長.
【答案】(1);(2)6
【解析】
(1)聯立直線與雙曲線方程,利用方程組與兩個交點,求出k的范圍.
(2)設交點A(x1,y1),B(x2,y2),利用韋達定理以及弦長公式求解即可.
(1)若雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組有兩個不同的實數根,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,∴解得-<k<且k≠±1.故雙曲線C與直線l有兩個不同的交點時,k的取值范圍是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2==2,即k2+k-=0,解得k=或k=-.
∵-<k<且k≠±1,
∴k=,∴x1x2==-4,∴|AB|=·=6.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“若.則a,b中至少有一個不小于1”的逆命題是一個真命題
B.命題“負數的平方是正數”是特稱命題
C.命題“設a,,若,則或”是一個真命題
D.常數數列既是等差數列也是等比數列
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓C過點,焦點,圓O的直徑為.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設直線l與圓O相切于第一象限內的點P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點,求點P的坐標;
②直線l與橢圓C交于兩點.若的面積為,求直線l的方程.
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【題目】(5分)《九章算術》“竹九節(jié)”問題:現有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第五節(jié)的容積為( )
A. 1升 B. 升 C. 升 D. 升
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【題目】已知平面直角坐標系中,過點的直線l的參數方程為 (t為參數),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為與曲線C相交于不同的兩點M,N.
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;
(2)若,求實數a的值.
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【題目】已知橢圓的離心率為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不過原點的直線與橢圓相交于兩點,與直線相交于點,且是線段的中點,求面積的最大值.
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【題目】為征求個人所得稅法修改建議,某機構對當地居民的月收入調查了10000人,并根據所得數據畫了樣本的頻率分布直方圖(每個分組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示收入在[1000,1500)).
(1)求居民月收入在的頻率;
(2)根據頻率分布直方圖估算樣本數據的中位數;
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關系,必須按月收入再從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進一步分析,則月收入在的這段應抽多少人?
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