Question

【題目】已知三棱錐的底面為正三角形，頂點在底面上的射影為底面的中心，，分別是棱，的中點，且，若側(cè)棱，則三棱錐的外接球的表面積是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB＝∠BSC＝∠ASC＝90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．

解：∵M，N分別為棱SC，BC的中點，∴MN∥SB

∵三棱錐S﹣ABC為正棱錐，

∴SB⊥AC（對棱互相垂直），∴MN⊥AC

又∵MN⊥AM，而AM∩AC＝A，

∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC

∴∠ASB＝∠BSC＝∠ASC＝90°

以SA，SB，SC為從同一定點S出發(fā)的正方體三條棱，

將此三棱錐補成以正方體，則它們有相同的外接球，

正方體的對角線就是球的直徑．∴2RSA＝6，∴R＝3，

∴S＝4πR2＝36π．

故選：C．