Question

【題目】已知橢圓E：（）的離心率是，，分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，的面積為2.直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)（P，Q異于，）

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的面積最大值；

（3）設(shè)直線與直線的斜率分別為，，求證：為常數(shù)，并求出這個(gè)常數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）由離心率得，由三角形面積得，結(jié)合可求得得橢圓方程；

（2）設(shè)直線l：交橢圓于，，直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入，然后可換元：設(shè)后用函數(shù)的單調(diào)性求得最值；

（3）計(jì)算，注意由（2）還可得，即，代入可得常數(shù)．

解：（1）設(shè)橢圓的焦距為（），因?yàn)?/span>，

所以，，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)直線l：交橢圓于，，

聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，

由根與系數(shù)關(guān)系得

所以，

令，，故，

當(dāng)，單調(diào)遞增，故時(shí)，最大值為；

（3）證：因?yàn)?/span>，

由第（2）問(wèn)知，即

將其代入上式

得為常數(shù)，即證