Question

已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x²+y²+z²=，證明：x，y，z∈[0，]．

Answer 1

證法一：由x+y+z=1，x²+y²+z²=，得x²+y²+（1-x-y）²=，整理成關(guān)于y的一元二次方程得：
2y²-2（1-x）y+2x²-2x+=0，∵y∈R，故△≥0
∴4（1-x）²-4×2（2x²-2x+）≥0，得0≤x≤，∴x∈[0，]
同理可得y，z∈[0，]
證法二：設(shè)x=+x′，y=+y′，z=+z′，則x′+y′+z′=0，
于是=（+x′）²+（+y′）²+（+z′）²
=+x′²+y′²+z′²+（x′+y′+z′）
=+x′²+y′²+z′²≥+x′²+=+x′²
故x′²≤，x′∈[-，]，x∈[0，]，
同理y，z∈[0，]
證法三：設(shè)x、y、z三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x＜0，則x²＞0，=x²+y²+z²≥x²+，矛盾．
x、y、z三數(shù)中若有最大者大于，不妨設(shè)x＞，則=x²+y²+z²≥x²+=x²+=x²-x+
=x（x-）+＞，矛盾．
故x、y、z∈[0，]
分析：證法一：由x+y+z=1，x²+y²+z²=，得x²+y²+（1-x-y）²=，整理成關(guān)于y的一元二次方程得：2y²-2（1-x）y+2x²-2x+=0，根據(jù)y∈R，故△≥0；
證法二：構(gòu)造新變量．設(shè)x=+x′，y=+y′，z=+z′，則x′+y′+z′=0，于是=x²+y²+z²=+x′²，從而可證；
證法三：反證法．設(shè)x、y、z三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x＜0，則x²＞0，=x²+y²+z²≥x²+＞，矛盾；x、y、z三數(shù)中若有最大者大于，同理可得．
點(diǎn)評(píng)：本題以條件等式為載體，考查不等式的證明，考查反證法的運(yùn)用，考查構(gòu)造法證明不等式，綜合性強(qiáng)．