【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx(a>0),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若過(guò)點(diǎn)A(2,f(2))的切線斜率為2,求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)當(dāng)x>0時(shí),求證:f(x)≥a(1﹣);
(Ⅲ)在區(qū)間(1,e)上>1恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】解答:(I)函數(shù)的f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=,
∵過(guò)點(diǎn)A(2,f(2))的切線斜率為2,
∴f′(2)==2,解得a=4.
(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣a(1﹣)=a(lnx﹣1+);
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=a(-).
令g′(x)>0,即a(-)>0,解得x>1,
∴g(x)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增.
∴g(x)最小值為g(1)=0,
故f(x)≥a(1﹣)成立.
(Ⅲ)令h(x)=alnx+1﹣x,則h′(x)=﹣1,
令h′(x)>0,解得x<a.…(8分)
當(dāng)a>e時(shí),h(x)在(1,e)是增函數(shù),所以h(x)>h(1)=0.
當(dāng)1<a≤e時(shí),h(x)在(1,a)上遞增,(a,e)上遞減,
∴只需h(x)≥0,即a≥e﹣1.
當(dāng)a≤1時(shí),h(x)在(1,e)上遞減,則需h(e)≥0,
∵h(yuǎn)(e)=a+1﹣e<0不合題意.
綜上,a≥e﹣1
【解析】(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可;
(Ⅲ)利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不等的負(fù)根;關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根,若為真,為假,求的取值范圍.

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I)求角B和邊長(zhǎng)b;

II)求面積的最大值及取得最大值時(shí)的ac的值,并判斷此時(shí)三角形的形狀.

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【題目】某汽車美容公司為吸引顧客,推出優(yōu)惠活動(dòng):對(duì)首次消費(fèi)的顧客,按200元/次收費(fèi),并注冊(cè)成為會(huì)員,對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠,標(biāo)準(zhǔn)如下:

消費(fèi)次第

第1次

第2次

第3次

第4次

≥5次

收費(fèi)比例

1

該公司從注冊(cè)的會(huì)員中,隨機(jī)抽取了位進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

消費(fèi)次第

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

頻數(shù)

假設(shè)汽車美容一次,公司成本為元.根據(jù)所給數(shù)據(jù),解答下列問(wèn)題:

(1)估計(jì)該公司一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率;

(2)某會(huì)員僅消費(fèi)兩次,求這兩次消費(fèi)中,公司獲得的平均利潤(rùn);

(3)該公司從至少消費(fèi)兩次的顧客中按消費(fèi)次數(shù)用分層抽樣方法抽出8人,再?gòu)倪@8人中抽出2人發(fā)放紀(jì)念品.求抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率.

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【題目】某班主任對(duì)全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和參加社團(tuán)活動(dòng)情況進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示

參加社團(tuán)活動(dòng)

不參加社團(tuán)活動(dòng)

合計(jì)

學(xué)習(xí)積極性高

17

8

25

學(xué)習(xí)積極性一般

5

20

25

合計(jì)

22

28

50

(Ⅰ)如果隨機(jī)從該班抽查一名學(xué)生,抽到參加社團(tuán)活動(dòng)的學(xué)生的概率是多少?抽到不參加社團(tuán)活動(dòng)且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(Ⅱ)試運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與參加社團(tuán)活動(dòng)情況是否有關(guān)系?并說(shuō)明理由.
x2=

P(x2≥k)

0.05

0.01

0.001

K

3.841

6.635

10.828

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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos2,g(x)=1+sin 2x.

(1)設(shè)x=x0是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸,求g(x0)的值.

(2)若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間上的最大值為2,求m的最小值.

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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足bcosA=(2c+a)cos(π﹣B)
(1)求角B的大小;
(2)若b=4,△ABC的面積為 , 求a+c的值.

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ.

(1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程;

(2)已知圓Cx軸相交于AB兩點(diǎn),直線ly=2x關(guān)于點(diǎn)M(0,m)(m≠0)對(duì)稱的直線為l′.若直線l上存在點(diǎn)P使得∠APB=90°,求實(shí)數(shù)m的最大值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=2ex﹣ax﹣2(x∈R,a∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)當(dāng)x≥0時(shí),若不等式f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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