【題目】已知函數(shù) f(x)=2lnx+x2﹣ax. (Ⅰ)當a=5時,求f(x)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設A(x1 , y1),B(x2 , y2)是曲線y=f(x)圖象上的兩個相異的點,若直線AB的斜率k>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設函數(shù)f(x)有兩個極值點x1 , x2 , x1<x2且x2>e,若f(x1)﹣f(x2)≥m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)當a=5時,f(x)=2lnx+x2﹣5x.求導,
f′(x)= = ,(x>0),
令f′(x)>0,解得:x>2或0<x< ,
令f′(x)<0,解得: <x<2,
∴f(x)的單調遞增區(qū)間(0, ),(2,+∞);f(x)的單調遞減區(qū)間( ,2);
(Ⅱ)由題意可知:k= >1,∴ >0,
令g(x)=f(x)﹣x,則g(x)在(0,+∞)上單調遞增,
∴g′(x)=f′(x)﹣1≥0,
∴ ﹣1≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴a≤2x+ ﹣1在(0,+∞)上恒成立,
∵2x+ ≥4,x=1時取等號,
∴a≤3;
(Ⅲ)∵x1+x2= ,x1x2=1,∴a=2(x1+x2),x2= ,
∴f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣ax1)﹣(2lnx2+x22﹣ax2)= ﹣x12+2lnx12,
令x12=x,則0<x< ,g(x)= ﹣x﹣2lnx,
∴g′(x)=﹣ <0,
∴g(x)在(0, )上單調遞減,
∴g(x)>g( )= ﹣4,
∴m≤ ﹣4.
【解析】(Ⅰ)當a=5時,f(x)=2lnx+x2﹣5x.求導,利用導數(shù)的正負求f(x)的單調區(qū)間;(Ⅱ)由題意可知:k= >1, >0,構造函數(shù),確定函數(shù)的單調性,分離參數(shù),即可求實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)f(x1)﹣f(x2)=(2lnx1+x12﹣ax1)﹣(2lnx2+x22﹣ax2)= ﹣x12+2lnx12,令x12=x,則0<x< ,g(x)= ﹣x﹣2lnx,求導,確定函數(shù)的單調性,求最值,即可求實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】關于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側,右側,那么是極大值(2)如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,設拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為直線l,點A、B在直線l上,點M為拋物線E第一象限上的點,△ABM是邊長為 的等邊三角形,直線MF的傾斜角為60°.
(1)求拋物線E的方程;
(2)如圖,直線m過點F交拋物線E于C、D兩點,Q(2,0),直線CQ、DQ分別交拋物線E于G、H兩點,設直線CD、GH的斜率分別為k1、k2 , 求 的值.
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【題目】下面給出四種說法: ①用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越小,說明模型的擬合效果越好;
②命題P:“x0∈R,x02﹣x0﹣1>0”的否定是¬P:“x∈R,x2﹣x﹣1≤0”;
③設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),若P(x>1)=p,則P(﹣1<X<0)= ﹣p
④回歸直線一定過樣本點的中心( , ).
其中正確的說法有(請將你認為正確的說法的序號全部填寫在橫線上)
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【題目】記U={1,2,…,100},對數(shù)列{an}(n∈N*)和U的子集T,若T=,定義ST=0;若T={t1 , t2 , …,tk},定義ST= + +…+ .例如:T={1,3,66}時,ST=a1+a3+a66 . 現(xiàn)設{an}(n∈N*)是公比為3的等比數(shù)列,且當T={2,4}時,ST=30.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對任意正整數(shù)k(1≤k≤100),若T{1,2,…,k},求證:ST<ak+1;
(3)設CU,DU,SC≥SD , 求證:SC+SC∩D≥2SD .
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【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f′(x)為函數(shù)f(x)的導函數(shù),當x∈[0.+∞)時,2sinxcosx﹣f′(x)>0且x∈R,f(﹣x)+f(x)+cos2x=1.則下列說法一定正確的是( )
A. ﹣f(﹣ )> ﹣f(﹣ )
B. ﹣f(﹣ )> ﹣f(﹣ )
C. ﹣f( )> ﹣f( )
D. ﹣f(﹣ )> ﹣f( )
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x﹣b)(b∈R).若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0,則實數(shù)b的取值范圍是( )
A.(﹣∞, )
B.(﹣∞, )
C.(﹣ , )
D.( ,+∞)
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【題目】設函數(shù)f(x)=ex(3x﹣1)﹣ax+a,其中a<1,若有且只有一個整數(shù)x0使得f(x0)≤0,則a的取值范
圍是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】設常數(shù)a∈R,集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,則a的取值范圍為( )
A.(﹣∞,2)
B.(﹣∞,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
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【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.我國PM2.5標準采用世衛(wèi)組織設定的最寬限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級;在35微克/立方米~75微克/立方米之間空氣質量為二級;在75微克/立方米以上空氣質量為超標. 某市環(huán)保局從市區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機抽取15天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值如莖葉圖所示(十位為莖,個位為葉)
(Ⅰ)從這15天的數(shù)據(jù)中任取一天,求這天空氣質量達到一級的概率;
(Ⅱ)從這15天的數(shù)據(jù)中任取3天的數(shù)據(jù),記ξ表示其中空氣質量達到一級的天數(shù),求ξ的分布列;
(Ⅲ)以這15天的PM2.5的日均值來估計一年的空氣質量情況,(一年按360天來計算),則一年中大約有多少天的空氣質量達到一級.
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