Question

圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相遇，若豎直線段有一條的為第一層，有兩條的為第二層，以此類推，豎直線段有n條的為第n層，每一層的豎直通道從左到右分別稱為第1通道、第2通道，…，現(xiàn)在有一個小球從入口向下（只能向下，不能向上）運動，小球在每個交點處向左到達(dá)下一層或者向右到達(dá)下一層的可能性是相同的．小球到達(dá)第n層第m通道的不同路徑數(shù)稱為a_n，m，如小球到達(dá)第二層第1通道和第二層第2通道的路徑都只有一種情況，因此，a_2，1=1，a_2，2=1．
求：（1）a_3，1，a_3，2，a_3，3；
（2）a_5，2，以及小球到達(dá)第5層第2通道的概率；
（3）猜想a_n，2（n≥2），并證明；
（4）猜想a_n，3（n≥3）（不用證明）．

Answer 1

分析：（1）小球到達(dá)第三層第1通道和第三層第2通道的路徑、第三層第3通道的路徑的情況一一算出即可；
（2）小球到達(dá)第五層第2通道的情況數(shù)是C₄¹；且每一個分叉處小球落入那一個通道的概率是相同的，根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式得到結(jié)果，
（3）根據(jù)小球到達(dá)第n層第2通道的情況數(shù)是C_n-1¹，推出具有一般性的結(jié)論．
（4）根據(jù)題意知小球到達(dá)第n層第3通道的情況數(shù)是C_n-1²，推出具有一般性的結(jié)論．

解答：解：（1）由題意知，小球到達(dá)第三層第1通道的情況數(shù)只有一種，
∴a_3，1=1，
小球到達(dá)第三層第2通道的情況數(shù)只有二種
∴a_3，2=2，
小球到達(dá)第三層第3通道的情況數(shù)只有一種
∴a_3，3=1；
（2）a_5，2=4，且每一個分叉處小球落入那一個通道的概率是相同的，
根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式得
小球到達(dá)第5層第2通道的概率為：
4×（

1

2

）⁴=

1

4

，
（3）猜想a_n，2=C_n-1¹=n-1（n≥2），
∵本圖中通道的不同路徑數(shù)正是楊輝三角數(shù)，
根據(jù)楊輝三角數(shù)可知：
∴第n行的第2個二項式系數(shù)為C_n-1¹=n-1；
（4）由（3）可知，根據(jù)楊輝三角數(shù)，
小球到達(dá)第n層第3通道的情況數(shù)為：C_n-1²
所以猜想小球到達(dá)第n層第3通道的情況數(shù)：a_n，3=C_n-1²（n≥3）．

點評：本題考查楊輝三角數(shù)，考查獨立重復(fù)試驗的概率公式，考查歸納推理，本題的題意比較好，容易引起學(xué)生的興趣．