若函數(shù)
在
處取得極大值或極小值,則稱
為函數(shù)
的極值點。已知
是實數(shù),1和
是函數(shù)
的兩個極值點.
(1)求
和
的值;
(2)設(shè)函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
,求
的極值點;
(3)設(shè)
,其中
,求函數(shù)
的零點個數(shù).
(1)
(2)
的極值點是-2
(3)當
時,函數(shù)
有5 個零點;當
時,函數(shù)
有9 個零點。
(1)求出
的導(dǎo)數(shù),根據(jù)1和
是函數(shù)
的兩個極值點代入列方程組求解即可。
(2)由(1)得,
,求出
,令
,求解討論即可。
(3)比較復(fù)雜,先分
和
討論關(guān)于
的方程
根的情況;再考慮函數(shù)
的零點
解:(1)由
,得
。
∵1和
是函數(shù)
的兩個極值點,
∴
,
,解得
。
(2)∵ 由(1)得,
,
∴
,解得
。
∵當
時,
;當
時,
,
∴
是
的極值點。
∵當
或
時,
,∴
不是
的極值點。
∴
的極值點是-2。
(3)令
,則
。
先討論關(guān)于
的方程
根的情況:
當
時,由(2 )可知,
的兩個不同的根為I 和一2 ,注意到
是奇函數(shù),∴
的兩個不同的根為一和2。
當
時,∵
,
,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是
的根。
由(1)知
。
① 當
時,
,于是
是單調(diào)增函數(shù),從而
。
此時
在
無實根。
② 當
時.
,于是
是單調(diào)增函數(shù)。
又∵
,
,
的圖象不間斷,
∴
在(1 , 2 )內(nèi)有唯一實根。
同理,
在(一2 ,一I )內(nèi)有唯一實根。
③ 當
時,
,于是
是單調(diào)減兩數(shù)。
又∵
,
,
的圖象不間斷,
∴
在(一1,1 )內(nèi)有唯一實根。
因此,當
時,
有兩個不同的根
滿足
;當
時
有三個不同的根
,滿足
。
現(xiàn)考慮函數(shù)
的零點:
( i )當
時,
有兩個根
,滿足
。
而
有三個不同的根,
有兩個不同的根,故
有5 個零點。
( 11 )當
時,
有三個不同的根
,滿足
。
而
有三個不同的根,故
有9 個零點。
綜上所述,當
時,函數(shù)
有5 個零點;當
時,函數(shù)
有9 個零點
【考點定位】本題綜合考查導(dǎo)數(shù)的定義、計算及其在求解函數(shù)極值和最值中的應(yīng)用,考查較全面系統(tǒng),要注意變形的等價性和函數(shù)零點的認識、極值和極值點的理解。本題主要考查數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想,屬于中高檔試題,難度中等偏上,考查知識比較綜合,全方位考查分析問題和解決問題的能力,運算量比較大。
練習(xí)冊系列答案
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的圖象是
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,其圖象如圖所示,則方程
根的個數(shù)為 ( )
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直線
與函數(shù)
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.
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在同一平面直角坐標系中,函數(shù)
的圖像與
的圖像關(guān)于直線
對稱,而函數(shù)
的圖像與
的圖像關(guān)于
軸對稱,若
,則
的值是( )
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如圖,射線
和圓
,當
從
開始在平面上繞端點
按逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動(轉(zhuǎn)動角度不超過
)時,它掃過的圓內(nèi)陰影部分的面積
是時間
的函數(shù),這個函數(shù)的圖象大致是( ▲ )
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已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,4],部分對應(yīng)值如下表,f(x)的導(dǎo)函數(shù)
的圖象如上右圖所示。
當1<a<2時,函數(shù)y=f(x)-a的零點的個數(shù)為
A.2 B.3 C.4 D.5
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題型:單選題
若函數(shù)
與
的圖象關(guān)于
軸對稱,則滿足
的實數(shù)
范圍是
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