Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，g（x）=lnx，
（1）求證：f（x）≥x+1；
（2）設(shè)x₀＞1，求證：存在唯一的x₀使得g（x）圖象在點A（x₀，g（x₀））處的切線l與y=f（x）圖象也相切；
（3）求證：對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得|

f(x)-1

x

-1|＜a成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)F（x）=e^x-x-1，求函數(shù)的導數(shù)即可證明f（x）≥x+1；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可證明存在唯一的x₀使得g（x）圖象在點A（x₀，g（x₀））處的切線l與y=f（x）圖象也相切；
（3）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)和不等式之間的關(guān)系即可證明對任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得|

f(x)-1

x

-1|＜a成立．

解答： 解：（1）令F（x）=e^x-x-1，x∈R，
∵F'（x）=e^x-1=0得x=0，∴當x＞0時F'（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當x＜0時F'（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；∴F（x）_min=F（0）=0，
由最小值定義得F（x）≥F（x）_min=0即e^x≥x+1．
（2）g（x）在x=x₀處切線方程為y=

1

x0

x+lnx0-1①
設(shè)直線l與y=e^x圖象相切于點(x1，ex1)，則l：y=ex1x+ex1(1-x1)②，
由①②得

1 x0 =ex1 (3) lnx0=ex1(1-x1) (4)

，
∴lnx0-

x0+1

x0-1

=0⑤
下證x₀在（1，+∞）上存在且唯一．
令G(x)=lnx-

x+1

x-1

(x＞1)，G′(x)=

x2+1

x(x-1)2

＞0，
∴G（x）在（1，+∞）上遞增．
又G(e)=

-2

e-1

＜0，G(e2)=

e2-3

e2-1

＞0，G（x）圖象連續(xù)，∴存在唯一x₀∈（1，+∞）使⑤式成立，從而由③④可確立x₁．故得證．
（1）由（1）知

f(x)-1

x

-1＞0即證當a＞0時不等式e^x-1-x＜ax即e^x-ax-x-1＜0在（0，+∞）上有解．
令H（x）=e^x-ax-x-1，即證H（x）_min＜0，
由H'（x）=e^x-a-1=0得x=ln（a+1）＞0．
當0＜x＜ln（a+1）時，H'（x）＜0，H（x）遞減，
當x＞ln（a+1）時，H'（x）＞0，H（x）遞增．
∴H（x）_min=H（ln（a+1））=a+1-aln（a+1）-ln（a+1）-1．
令V（x）=x-xlnx-1，其中x=a+1＞1
則V'（x）=1-（1+lnx）=-lnx＜0，
∴V（x）遞減，∴V（x）＜V（1）=0．
綜上得證．

點評：本題主要考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性較強，運算量較大．