精英家教網(wǎng)如圖,一塊礦石晶體的形狀為四棱柱,底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°.
(1)設(shè)
CD
=
a
, 
CB
=
b
, 
CC1
=
c
,試用
a
,
b
,
c
表示
A1C
;
(2)O為四棱柱的中心,求CO的長;
(3)求證:A1C⊥BD.
分析:(1)利用空間向量的加法,可得平行六面體的體對角線,可得
CA1
=
a
+
b
+
c
,再利用
A1C
CA1
互為相反向量,就可求出
A1C

(2)因?yàn)镺為四棱柱的中心,所以O(shè)為線段A1C的中點(diǎn),所以要求CO的長,只需求出A1C的長即可.利用(1)中所求
CA1
=
a
+
b
+
c
,再求模即可.
(3)要證A1C⊥BD,只需證明
CA1
BD
=0,即可,根據(jù)
CA1
=
a
+
b
+
c
,
BD
=
a
-
b
,也即是證明(
a
+
b
+
c
)•(
a
-
b
)
=0,再用已知計(jì)算即可.
解答:解:(1)由
CD
=
a
, 
CB
=
b
 
CC1
=
c
,得
CA1
=
a
+
b
+
c

所以,
A1C
=-
a
-
b
-
c

(2)O為四棱柱的中心,即O為線段A1C的中點(diǎn).
由已知條件,得|
a
|=|
b
|=2
,|
c
|=3
a
b
=0
,
a
,
c
>=60°
,
b
c
>=60°

根據(jù)向量加減法得
BD
=
a
-
b
,
CA1
=
a
+
b
+
c
.|
CA1
|2=
CA1
2
=(
a
+
b
+
c
)2=
a
2
+
b
2
+
c
2
+2
a
b
+2
b
c
+2
a
c

=22+22+32+0+2×3×2×cos60°+2×3×2×cos60°=29.
∴A1C的長為
29

所以CO=
29
2

(3)∵
CA1
BD
=(
a
+
b
+
c
)•(
a
-
b
)=
a
2
+
a
c
-
b
2
-
b
c

=22+2×3×cos60°-22-2×3×cos60°=0,
∴CA1⊥BD.
點(diǎn)評(píng):本題考查了用空間向量判斷幾何中的位置關(guān)系.注意和平面向量知識(shí)相聯(lián)系.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,一塊礦石晶體的形狀為四棱柱,底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°.
(1)設(shè)數(shù)學(xué)公式,試用數(shù)學(xué)公式表示數(shù)學(xué)公式;
(2)O為四棱柱的中心,求CO的長;
(3)求證:A1C⊥BD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年廣東省中山市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,一塊礦石晶體的形狀為四棱柱,底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°.
(1)設(shè),試用表示;
(2)O為四棱柱的中心,求CO的長;
(3)求證:A1C⊥BD.

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