Question

（2013•浙江模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足an=

Sn

+

sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求證：{

Sn

}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，若對(duì)任意的n∈N^*，不等式4T_n＜a²-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，sn-sn-1=

sn

+

sn-1

，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求s_n，進(jìn)而可求a_n
（II）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項(xiàng)求和可求T_n，求出T_n的范圍可求a的范圍

解答：解：（I）∵an=

Sn

+

sn-1

∴sn-sn-1=

sn

+

sn-1

∴

sn

-

sn-1

=1
∴數(shù)列{

sn

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列
∴

sn

=1+(n-1)=n
∴sn=n2
∴an=

sn

+

sn-1

=n+n-1=2n-1（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也適合
∴a_n=2n-1
（II）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

∴T_n＜

1

2

∵4T_n＜a²-a恒成立
∴2≤a²-a，解得a≥2或a≤-1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用及恒成立與最值求解的應(yīng)用．