Question

19．袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為$\frac{1}{7}$，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球．甲先取，乙后取，然后甲再取…取后不放回，每人最多取兩次，若兩人中有一人首先取到白球時則終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的．   
（1）求袋中原有白球的個數(shù)；
（2）求甲取到白球的概率；
（3）求取球4次終止的概率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)袋中原有n個白球，利用等可能事件概率計算公式能求出袋中原有3個白球．
（2）甲只有可能在第1次和第3次取球，記“甲第一次取到白球”的事件為A₁，“第3球取到白球”的事件為A₃，由事件A₁，A₃兩兩互斥，能求出甲取到白球的概率．
（3）因為第四次輪到乙取球，“第四次乙取到白球”的事件為B，“第四次乙取不到白球”的事件為C，由此能求出取球4次終止的概率．

解答 解：（1）設(shè)袋中原有n個白球，
由題意知：$\frac{1}{7}=\frac{C_n^2}{C_7^2}=\frac{{\frac{n（n-1）}{2}}}{{\frac{7×6}{2}}}$，解得n=3，
即袋中原有3個白球．…（4分）
（2）甲只有可能在第1次和第3次取球，
記“甲第一次取到白球”的事件為A₁，
“第3球取到白球”的事件為A₃，
因為事件A₁，A₃兩兩互斥．
所以P=P（A₁）+P（A₃）=$\frac{C_3^1}{C_7^1}+\frac{A_4^2C_3^1}{A_7^3}=\frac{3}{7}+\frac{4×3×3}{7×6×5}=\frac{3}{5}$．…（8分）
（3）因為第四次輪到乙取球，“第四次乙取到白球”的事件為B，
“第四次乙取不到白球”的事件為C，
則P=$P（B）+P（C）=\frac{A_4^3C_3^1}{A_7^4}+\frac{A_4^4}{A_7^4}=\frac{3}{35}+\frac{1}{35}=\frac{4}{35}$…（12分）．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式、互斥事件概率加法公式的合理運用．