Question

9．直線x+y=$\sqrt{3}$a與圓x²+y²=a²+（a-1）²相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB是正三角形，則實(shí)數(shù)a=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得，圓心（0，0）到直線x+y=$\sqrt{3}$a的距離等于半徑的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，再利用點(diǎn)到直線的距離公式解得a的值．

解答 解：由題意可得，圓的半徑為$\sqrt{{a}^{2}+（a-1）^{2}}$，
圓心（0，0）到直線x+y=$\sqrt{3}$a的距離等于半徑的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍，
即$\frac{|0+0-\sqrt{3}a|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}•$$\sqrt{{a}^{2}+（a-1）^{2}}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．