Question

20、某公司通過報紙和電視兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)資料統(tǒng)計，銷售收入R（萬元）與報紙廣告費用x₁（萬元）及電視廣告費用x₂（萬元）之間的關(guān)系有如下經(jīng)驗公式：R=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28．
（1）若提供的廣告費總共為5萬元，求最優(yōu)廣告策略（即收益最大的策略，其中收益=銷售收入-廣告費用）；
（2）在廣告費用不限的情況下，求最優(yōu)廣告策略．

Answer 1

分析：設(shè)收益為y，則y=R-x₁-x₂，對（1）因為廣告費總共為五萬元，故x₁+x₂=5，由此可以把收益轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₁的函數(shù)，再利用相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)選取求最值的方法，求最值即可．

解答：解：設(shè)收益為y，則y=R-x₁-x₂，
（1）∵x₁+x₂=5，故x₂=5-x₁∈（0，5），
又x₁∈（0，5），∴x₁∈（0，5）
∴y=R-x₁-x₂=-2x₁²-x₂²+13x₁+11x₂-28-x₁-x₂
將x₂=5-x₁代入上式得
y=-3x₁²+12x₁-3=-3（x₁-2）²+9
當(dāng)x₁=2時，最大收益為9
由上知，當(dāng)x₁=2，x₂=3時，收益最大是9萬元
（2）若廣告費用不受限制，由（1）知
y=R-x₁-x₂=-2x₁²-x₂²+12x₁+10x₂-28
=-2（x₁-3）²-（x₂-5）²+15
故當(dāng)x₁=3，x₂=5時收益最大為15萬元．

點評：考查根據(jù)實際問題建立函數(shù)，用配方法求一元二次函數(shù)的最值．