已知定義在(－1，1)上的函數(shù)f(x)滿足f＝1，且對x、y∈(－1，1)時，有f(x)－f(y)＝．

(1)判斷f(x)在(－1，1)上的奇偶性，并證明之；

(2)令x1＝，xn+1＝，求數(shù)列{f(xn)}的通項公式；

(3)設(shè)Tn為數(shù)列{}的前n項和，問是否存在正整數(shù)m，使得對任意的n∈N*，有Tn＜成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，則說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝0．

　　又當(dāng)x＝0時，f(0)－f(y)＝f(－y)，即f(－y)＝－f(y)．

　　∴對任意x∈(－1，1)時，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)．

　　(2)∵{xn}滿足x1＝，xn+1＝，

　　∴0＜xn＜1．∴f(xn+1)＝f．

　　∵f(x)在(－1，1)上是奇函數(shù)，∴f(－xn)＝－f(xn)，∴f(xn+1)＝2f(xn)，即．∵{f(xn)}是以f(x1)＝f＝1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

　　∴f(xn)＝2n－1．

　　(3)Tn＝．

　　假設(shè)存在正整數(shù)m，使得對任意的n∈N*，有Tn＜成立，即2－對n∈N*恒成立．

　　只需≥2，即m≥10，故存在正整數(shù)m，使得對n∈N*，有Tn＜成立．

　　此時m的最小值為10．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

10、已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
為奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間（-1，1）內(nèi)的奇函數(shù)f（x）是減函數(shù)，若f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知定義在[-1，1]上的函數(shù)y=f（x）的值域為[-2，0]，則函數(shù)y=f（cos2x）的值域為（　　）
A．[-1，1]B．[-3，-1]C．[-2，0]D．不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知定義在區(qū)間（-1，1）上的函數(shù)f(x)=
ax+b
1+x2
為奇函數(shù)，且f(
1
2
)=
2
5
．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）用定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解關(guān)于t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

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