Question

設(shè)函數(shù)=（為自然對數(shù)的底數(shù)），，記．
（1）為的導(dǎo)函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明；
（2）若函數(shù)=0有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞增．（2）實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）。

試題分析：（1），∴，
令，則，
∴在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，而，
∴有唯一解，
的變化情況如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	遞減	極小值	遞增

 
又∵函數(shù)有兩個零點(diǎn)，
∴方程有兩個根，即方程有兩個根 
而，，
解得．
所以，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2）
點(diǎn)評：中檔題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步判斷函數(shù)零點(diǎn)情況，提供了解答此類問題的一般方法。