Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），過(guò)定點(diǎn)（p，0）作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，l₁與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，l₂與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)l₁的斜率為k．若某同學(xué)已正確求得弦PQ的中垂線在y軸上的截距為

2p

k

+

p

k3

，則弦MN的中垂線在y軸上的截距為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)點(diǎn)斜式知道直線l₂的方程為y=-

1

k

(x-p)，設(shè)出M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則根據(jù)M，N在拋物線y²=2px（p＞0）知：

y 2 1 =2px1① y 2 2 =2px2②

，①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂），根據(jù)斜率得到MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到弦MN的中垂線方程，即可求解

解答：解：設(shè)出M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
∵M(jìn)，N在拋物線y²=2px（p＞0）
∴

y 2 1 =2px1① y 2 2 =2px2②

①-②知（y₁²-y₂²）=2p（x₁-x₂）
∵

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

∴y₁+y₂=-2kp
∵M(jìn)，N在直線l₂：y=-

1

k

(x-p)上
∴x₁+x₂=2p（k²+1）
即弦MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（p（k²+1），-kp）
∵過(guò)定點(diǎn)（p，0）作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，l₁與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，l₂與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)l₁的斜率為k
∴kmn=-

1

k

∴弦MN的中垂線的斜率為k
∴弦MN的中垂線的方程為：y+kp=k（x-p（k²+1）），
令x=0得y=-2pk-pk³
故答案為：-2pk-pk³

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩直線垂直的條件，直線與圓錐曲線位置關(guān)系，一元二次方程的根系關(guān)系．此類(lèi)題是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中一類(lèi)常見(jiàn)的題型，屬于基礎(chǔ)題．