已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F在軸上,離心率,點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若斜率為的直線交橢圓與、兩點(diǎn),且、、成等差數(shù)列,點(diǎn)M(1,1),求的最大值.
(1);(2).
解析試題分析:(1)設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)已知條件解出即可;(2)由題意可知,直線的斜率存在且不為,故可設(shè)直線的方程為,A,B點(diǎn)坐標(biāo)為,聯(lián)立直線和橢圓方程,利用韋達(dá)定理得,然后利用直線的斜率依次成等差數(shù)列得出,又,所以,即,然后求出弦長(zhǎng),計(jì)算三角形面積,求其最大值.
試題解析:1)設(shè)橢圓方程為,由題意知
,…①
,…②
聯(lián)立①②解得,,所以橢圓方程為 (4分)
2)由題意可知,直線的斜率存在且不為,故可設(shè)直線的方程為
滿足,
消去得.
,
且,.
因?yàn)橹本的斜率依次成等差數(shù)列,
所以,,即,
又,所以,
即. (9分)
聯(lián)立 易得弦AB的長(zhǎng)為
又點(diǎn)M到的距離
所以
平方再化簡(jiǎn)求導(dǎo)易得時(shí)S取最大值 (13分)
考點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、直線方程、等差數(shù)列、點(diǎn)到直線的距離公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓:的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓:,設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn).(12分)
(1)求橢圓的方程;(3分)
(2)求的最小值,并求此時(shí)圓的方程;(4分)
(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),且直線分別與軸交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:為定值.(5分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(I)如果直線l過拋物線的焦點(diǎn),求的值;
(II)如果,證明直線l必過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率,且橢圓C上一點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離最大值為4,過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn)D,與橢圓相交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知圓,圓,動(dòng)圓與已知兩圓都外切.
(1)求動(dòng)圓的圓心的軌跡的方程;
(2)直線與點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)、,的中垂線與軸交于點(diǎn),求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為A,B,短軸的上端點(diǎn)為M,O為橢圓的中心,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),且·=1,||=1.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),問:是否存在直線l,使得點(diǎn)F恰為△PQM的垂心?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為.點(diǎn)在軌跡上,且關(guān)于軸對(duì)稱,過線段(兩端點(diǎn)除外)上的任意一點(diǎn)作直線,使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行,設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn).
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點(diǎn)到直線的距離等于,且的面積為20,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,,直線與線段、分別交于點(diǎn)、.
(1)當(dāng)時(shí),求以為焦點(diǎn),且過中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作直線交于點(diǎn),記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上;
②圓是否恒過異于點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)?若過,求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不過,請(qǐng)說明理由.
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