已知數(shù)列{an}滿足
a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1
2n
=n2+n(n∈N*)

(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(I)由
a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1
2n
=n2+n,(n∈N+)
,知
a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1-1
2n-1
=(n-1)2+n-1=n2-n(n≥2,n∈N+),由此能夠得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(II)設(shè)bn=n•2n+1,其前n項(xiàng)和為Tn,則Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1,由錯位相減法能夠得到Tn,從而能夠得到數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
解答:解:(I)∵
a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1
2n
=n2+n,(n∈N+)

a1-1
2
+
a2-1
22
+…+
an-1-1
2n-1
=(n-1)2+n-1=n2-n(n≥2,n∈N+),②
由①-②得:
an-1
2n
=2n
,∴an=n•2n+1+1,n≥2,n∈N+,③
在①中,令n=1,得a1=5,適合③式,∴an=n•2n+1+1,n∈N+
(II)設(shè)bn=n•2n+1,其前n項(xiàng)和為Tn,則:
Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1,①
2Tn=1×23+2×24+…+n×2n+2,②
②-①,得Tn=-22-23-…-2n+1+n•2n+2
=(n-1)•2n+2+4.
∴Sn=Tn+n=(n-1)•2n+2+n+4.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法,解題時要注意迭代法和錯位相減法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

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