Question

【題目】設無窮數(shù)列的每一項均為正數(shù)，對于給定的正整數(shù)，()，若是等比數(shù)列，則稱為數(shù)列.

（1）求證：若是無窮等比數(shù)列，則是數(shù)列；

（2）請你寫出一個不是等比數(shù)列的數(shù)列的通項公式；

（3）設為數(shù)列，且滿足，請用數(shù)學歸納法證明：是等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.（2）().(答案不唯一).（3）證明見解析

【解析】

（1）通過證明，證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此證得為數(shù)列.

（2）根據(jù)滿足的數(shù)列是等比數(shù)列，但無窮數(shù)列不是等比數(shù)列，舉出相應的例子.

（3）首先根據(jù)已知條件得到，再利用數(shù)學歸納法證明（或者利用數(shù)學歸納法證明），由此證得是等比數(shù)列.

（1）設是公比為的等比數(shù)列，對于給定的正整數(shù)，()，

∴，，

又，∴是等比數(shù)列，

∴為數(shù)列.

（2）().(答案不唯一)

簡潔的例子如：().

（3）∵為數(shù)列，∴是等比數(shù)列，其中()，

∴()，

∴()是常數(shù)列，設常數(shù)為，即()，

以下用數(shù)學歸納法證明(法一)()，

①由已知可得：當時命題成立；

②假設(，)時命題成立，即，，

當時，∵()是常數(shù)列，

∴(，)，

∴，

等式也成立.

根據(jù)①和②可以斷定，對任何都成立，即是等比數(shù)列.

令，以下用數(shù)學歸納法證明(法二)()，

①∵，∴，∴，∴，即，

∴當時命題成立，

假設(，)時命題成立，即()；

②當時，，

等式也成立；

根據(jù)①和②可以斷定，對任何都成立，即是等比數(shù)列.