【題目】已知函數(shù)(為常數(shù))與軸有唯一的公關(guān)點.
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)曲線在點處的切線斜率為,若存在不相等的正實數(shù),滿足,證明: .
【答案】(Ⅰ)當(dāng)時,函數(shù)的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;
當(dāng)時,函數(shù)的遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間.(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)因為函數(shù)的定義域為,且,故由題意可知曲線與軸存在公共點,又,對a進行討論分, 四種情況進行可得解(Ⅱ)容易知道函數(shù)在處的切線斜率為,得,由(Ⅰ)可知,且函數(shù)在區(qū)間上遞增.不妨設(shè),因為,則,則有,整理得,利用基本不等式構(gòu)建關(guān)于不等關(guān)系即可證得.
試題解析:
(Ⅰ)因為函數(shù)的定義域為,且,
故由題意可知曲線與軸存在公共點,又,則有
當(dāng)時, ,函數(shù)在定義域上遞增,滿足條件;
當(dāng)時,函數(shù)在上遞減,在上遞增,
①若時,則,取,則,
故由零點存在定理可知,函數(shù)在上還有一個零點,因此不符合題意;
②若,則函數(shù)的極小值為,符合題意;
③若,則由函數(shù)的單調(diào)性,有,取,有.下面研究函數(shù)
, ,因為恒成立,故函數(shù)在上遞增,故,故成立,函數(shù)在區(qū)間上存在零點.
不符合題意.
綜上所述:
當(dāng)時,函數(shù)的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;
當(dāng)時,函數(shù)的遞增區(qū)間為,無遞減區(qū)間.
(Ⅱ)容易知道函數(shù)在處的切線斜率為,得,
由(Ⅰ)可知,且函數(shù)在區(qū)間上遞增.
不妨設(shè),因為,則,
則有,整理得,
由基本不等式得,故,整理得,即.
由函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,即.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知角始邊與軸的非負半軸重合,與圓相交于點,終邊與圓相交于點,點在軸上的射影為, 的面積為,函數(shù)的圖象大致是( )
A. B.
C. D.
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【題目】隨著醫(yī)院對看病掛號的改革,網(wǎng)上預(yù)約成為了當(dāng)前最熱門的就診方式,這解決了看病期間病人插隊以及醫(yī)生先治療熟悉病人等諸多問題;某醫(yī)院研究人員對其所在地區(qū)年齡在10~60歲間的位市民對網(wǎng)上預(yù)約掛號的了解情況作出調(diào)查,并將被調(diào)查的人員的年齡情況繪制成頻率分布直方圖,如下圖所示.
(Ⅰ)若被調(diào)查的人員年齡在20~30歲間的市民有300人,求被調(diào)查人員的年齡在40歲以上(含40歲)的市民人數(shù);
(Ⅱ)若按分層抽樣的方法從年齡在以內(nèi)及以內(nèi)的市民中隨機抽取5人,再從這5人中隨機抽取2人進行調(diào)研,求抽取的2人中,至多1人年齡在內(nèi)的概率.
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【題目】設(shè)f(x)=ln x,g(x)=x|x|.
(1)求g(x)在x=-1處的切線方程;
(2)令F(x)=x·f(x)-g(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若任意x1,x2∈[1,+∞)且x1>x2,都有m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若為的極值點,求的值;
(Ⅱ)若在單調(diào)遞增,求的取值范圍.
(Ⅲ)當(dāng)時,方程有實數(shù)根,求的最大值.
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【題目】“雙十一”期間,某淘寶店主對其商品的上架時間(分鐘)和銷售量(件)的關(guān)系作了統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):
經(jīng)計算: , , , .
(1)從滿足的數(shù)據(jù)中任取兩個,求所得兩個數(shù)據(jù)都滿足的概率;
(2)該店主通過作散點圖,發(fā)現(xiàn)上架時間與銷售量線性相關(guān),請你幫助店主求出上架時間與銷售量的線性回歸方程(保留三位小數(shù)),并預(yù)測商品上架1000分鐘時的銷售量.
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【題目】已知一個動圓與兩個定圓和均相切,其圓心的軌跡為曲線C.
(1) 求曲線C的方程;
(2) 過點F()做兩條可相垂直的直線,設(shè)與曲線C交于A,B兩點, 與曲線 C交于C,D兩點,線段AC,BD分別與直線交于M,M,N兩點。求證|MF|:|NF|為定值.
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【題目】已知拋物線T的焦點為F,準線為l,過F的直線m與T交于A,B兩點,C,D分別為A,B在l上的射影,M為AB的中點,若m與l不平行,則△CMD是( )
A. 等腰三角形且為銳角三角形
B. 等腰三角形且為鈍角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 非等腰的直角三角形
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