數(shù)列{}的前n項和為，．

（Ⅰ）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）若，數(shù)列的前項和，證明：．

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 由，令可求，時，利用可得與之間的遞推關(guān)系，構(gòu)造等可證等比數(shù)列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用錯位相減法可求數(shù)列的和；（Ⅲ）由（Ⅱ）進(jìn)而可求，利用（）進(jìn)行不等式放縮，求數(shù)列{}的和即可求證.

試題解析：（Ⅰ）因為，

所以 ① 當(dāng)時，，則， （1分）

② 當(dāng)時，， （2分）

所以，即，

所以，而， （3分）

所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以． （4分）

（Ⅱ）由(1)得．

所以 ①，

②， （5分）

②-①得：， （7分）

. （9分）

（Ⅲ）由(Ⅰ)知 （10分）

（1）當(dāng)時，成立； （11分）

（2）當(dāng)時，，， （13分）

所以. （14分）

（本題放縮方法不唯一,請酌情給分）

考點： 1.遞推關(guān)系；2.等比數(shù)列的概念；3.數(shù)列求和和不等式放縮.

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，函數(shù)f（x）=
1
2
px2一（p+q）x+qlnx（其中p，q均為常數(shù)，且p＞q＞0），當(dāng)x=a1時，函數(shù)f（x）取得極小值，點（an，2Sn）（n∈N*）均在函數(shù)y=2px2-
q
x
+f'（x）+q的圖象上．（其中f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）
（1）求a1的值；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）記bn=
4Sn
n+3
•qn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}的公差大于0，且a2，a5是方程x2-12x+27=0的兩根，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn=
1-bn2
（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若cn=an•bn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：Tn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•營口二模）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，如果對于任意的n∈N+ ，點Pn（n，Sn）都在函數(shù)f（x）=2x2-x的圖象上，且過點Pn（n，Sn）的切線斜率為kn，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若bn=an+kn，求數(shù)列{bn}的前前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，an+1=an+3對任意的n∈N+恒成立．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，向量
a
=（2，S5），向量
b
=（4k，-S3）若
a
∥
b
，求k值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an-1且a1=3，bn=
an-1anan+1
，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn．
（1）求證數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；
（2）求{an}的通項公式；
（3）求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．

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