在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A為(
3
-1)
n mile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°方向,距離A為2n mile的C處有一艘緝私艇奉命以10
3
n mile/h的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時(shí)間.(本題解題過程中請不要使用計(jì)算器,以保證數(shù)據(jù)的相對準(zhǔn)確和計(jì)算的方便)
分析:在△ABC中,∠CAB=120°由余弦定理可求得線段BC的長度;在△ABC中,由正弦定理,可求得sin∠ACB;設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船,CD=10
3
t,BD=10t,在△ABC中,可求得∠CBD=120°,再在△BCD中,由正弦定理可求得sin∠BCD,從而可求得緝私艇行駛方向,在△BCD中易判斷BD=BC,由t=
BD
10
即可得到追緝時(shí)間.
解答:解:在△ABC中,∠CAB=45°+75°=120°,
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠CAB
=(
3
-1)2
+22-2×(
3
-1)
×2×(-
1
2
)=6,
所以,BC=
6

在△ABC中,由正弦定理,得
AB
sin∠ACB
=
BC
sin120°
,
所以,sin∠ACB=
AB•sin120°
BC
=
3
-1
2
2
=
6
-
2
4

又∵0°<∠ACB<60°,∴∠ACB=15°.
設(shè)緝私船用t h在D處追上走私船,如圖,
則有CD=10
3
t,BD=10t.
又∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得
sin∠BCD=
BD•sin∠CBD
CD
=
10t•sin120°
10
3
t
=
1
2

∴∠BCD=30°,
又因?yàn)椤螦CB=15°,
所以1800-(∠BCD+∠ACB+75°)=180°-(30°+15°+75°)=60°,
即緝私船沿北偏東60°方向能最快追上走私船.?
在△BCD中,∴∠BCD=30°,∠CBD=90°+30°=120°,
∴∠CDB=30°,∴BD=BC=
6
,
則t=
6
10
,即緝私艇最快追上走私船所需時(shí)間
6
10
h.
點(diǎn)評:本題考查余弦定理與正弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用,考查解三角形,考查綜合分析與運(yùn)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(
3
-1)海里的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°方向,距A處2海里的C處的緝私船奉命以10
3
海里/小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄,問緝私船沿什么方向能最快追上走私船,并求出所需要的時(shí)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距A處(
3
-1
)海里的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°的方向,距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10
3
海里/每小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以10海里/每小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.問:緝私船沿什么方向能最快追上走私船?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A(
3
-1)
nmile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°的方向,距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10
3
nmile/h的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.
(1)求線段BC的長度;
(2)求∠ACB的大;
(參考數(shù)值:sin15°=
6
-
2
4
,cos15°=
6
+
2
4

(3)問緝私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆湖南省高一4月段考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向距A為-1海里的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°的方向,距A為2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船.此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私船沿著什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的時(shí)間.(注:≈2.449)

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案