Question

已知曲線C：（5-m）x²+（m-2）y²=8（m∈R）。
（1）若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N，直線y=1與直線BM交于點G，求證：A，G，N三點共線。

Answer 1

解：（1）原曲線方程可化簡得：
由題意，曲線C是焦點在x軸點上的橢圓可得：，
解得：。
（2）證明：由已知直線代入橢圓方程化簡得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，
△=32（2k²-3）＞0，
解得：
由韋達定理得：①，，②
設(shè)N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
MB方程為：，
則，
∴，=（x_N，kx_N+2），
欲證A，G，N三點共線，只需證，共線
即成立，
化簡得：（3k+k）x_Mx_N=-6（x_M+x_N）
將①②代入可得等式成立，則A，G，N三點共線得證。