（本題滿分14分）已知函數(shù)（為常數(shù),）．

(Ⅰ)當時，求函數(shù)在處的切線方程；

(Ⅱ)當在處取得極值時，若關(guān)于的方程在[0，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)若對任意的，總存在，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

【答案】

(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ)實數(shù)的取值范圍為．

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用

（1）利用導數(shù)的幾何意義，表示切線的斜率和點的坐標，進而得到切線方程。

（2）求解導數(shù)，運用導數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到極值的判定。并解決問題。

（3）當時，，

∴ f(x) 在上單調(diào)遞增，最大值為，于是問題等價于：

對任意的，不等式恒成立

運用導數(shù)來完成恒成立的證明。

解：.

(Ⅰ)當a=1時，，∴，∴切線方程為；

(Ⅱ)由已知，得且，∴，∵a>0，∴a=2．∴，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

又，∴  （8分）

(Ⅲ)當時，，

∴ f(x) 在上單調(diào)遞增，最大值為，于是問題等價于：

對任意的，不等式恒成立．（10分）

記，（）

則，

當時，，∴在區(qū)間上遞減，此時，，

∴時不可能使恒成立，故必有，∵

若，可知在區(qū)間上遞增，在此區(qū)間上有g(shù)(a)>g(1)=0滿足要求；

若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有，與恒成立矛盾，

所以實數(shù)的取值范圍為．（14分）

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）已知向量 ，，函數(shù).   （Ⅰ）求的單調(diào)增區(qū)間；  （II）若在中，角所對的邊分別是，且滿足：，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分14分）已知，且以下命題都為真命題：

命題 實系數(shù)一元二次方程的兩根都是虛數(shù)；

命題 存在復數(shù)同時滿足且.

求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年吉林省高三第一次月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）已知函數(shù)

(1)若，求x的值；

(2)若對于恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省惠州市高三第三次調(diào)研考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

已知橢圓：的離心率為，過坐標原點且斜率為的直線與相交于、，．

⑴求、的值；

⑵若動圓與橢圓和直線都沒有公共點，試求的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省惠州市高三第三次調(diào)研考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（（本題滿分14分）

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）.

（1）當x=2時，求證：BD⊥EG ；

（2）若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為，

求的最大值；

（3）當取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值．

 

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