Question

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

45

+

y2

20

=1的兩個焦點，M是橢圓上的第一象限內(nèi)的點，且MF₁⊥MF₂．
（1）求△MF₁F₂的周長；
（2）求點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)橢圓的方程得出長半軸的長，進而得出焦距的長，再由橢圓的定義可得△MF₁F₂的周長；
（2）設(shè)點M坐標為（x₀，y₀），在Rt△F₁PF₂中，由勾股定理結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合三角形的面積可解得y₀，再代入橢圓的方程，從而求得點M的坐標．

解答：解：橢圓

x2

45

+

y2

20

=1中，長半軸a=3

5

，焦距2c=2

45-20

=10
（1）根據(jù)橢圓定義，|MF1|+|MF2|=2a=6

5

所以，△MF₁F₂的周長為|F1F2|+|MF1|+|MF2|=6

5

+10
（2）設(shè)點M坐標為（x₀，y₀）
由MF₁⊥MF₂得，
|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=102=100，

又(|MF1|+|MF2|)2=(6 5 )2=180

，
∴

|MF1|•|MF2|= 1 2 [(|MF1|+|MF2|)2-(|MF1|2+|MF2|2)]2=40

S△MF1F2= 1 2 |MF1|•|MF2|= 1 2 |F1F2|•|y0| ∴|y0|=4，則|x0|=3

∵M是橢圓上的第一象限內(nèi)的點，
∴點M坐標為（3，4）．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)和定義，以及勾股定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．