【題目】試問(wèn):能否把2008表示成的形式?如果可以,這種表示方式是否有無(wú)限多個(gè)?其中,m、n均為大于100且小于170的正整數(shù),且;均為兩兩不相等的小于6的正有理數(shù),且均為大于1且小于5的正整數(shù),同時(shí), 兩兩不相等,也兩兩不相等請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

滿足題目要求的表示方式是存在的，且有無(wú)限多個(gè).理由如下.

為方便計(jì)，試取，考慮和式

.①

注意到

，

則.②

由式①、②得

.

故

.

則

，

這里（的取法有無(wú)限多個(gè)，表示式也有無(wú)限多個(gè)）.

正項(xiàng)共有110+28×2=166個(gè)，而負(fù)項(xiàng)共有110個(gè)，均為兩兩不等的小于6的正有理數(shù).

（注意到，因?yàn)?/span>為偶數(shù)；又與互質(zhì)， 與互質(zhì)，也是因?yàn)?/span>為偶數(shù)；另外，，因?yàn)?/span>），從而，兩兩不相等.

顯然滿足“大于100且小于170，”.

另外，也容易驗(yàn)證：以上的表示方式都滿足“也兩兩不相等”.

綜上所述，以上所構(gòu)造的2008的表示式完全符合題目要求，且表示式有無(wú)限多個(gè).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

（1）證明：平面AEC；

（2）設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P－ABD的體積V＝，求A到平面PBC的距離.

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C. 概率為的隨機(jī)事件 D. 必然事件

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【題目】某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間如下:

組號(hào)

第一組

第二組

第三組

第四組

第五組

分組

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

(1)求圖中a的值;

(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;

(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.

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【題目】設(shè)是一個(gè)給定的非零實(shí)數(shù),在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的方程為且,點(diǎn).

(1)設(shè)是上的任意一點(diǎn),試求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程并指出曲線的類型和位置;

(2)求出、在它們的交點(diǎn)處的各自切線之間的夾角(銳角)(用反三角函數(shù)式表示)

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【題目】如圖，已知鈍角△ABC中，∠B-∠C=90°，∠C=θ，其外接圓⊙O的半徑為R.AD是⊙O的一條直徑，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線與BC的延長(zhǎng)線交于H，過(guò)點(diǎn)D作BA的平行線交AC的延長(zhǎng)線于E，交過(guò)D、O、H的圓于G，聯(lián)結(jié)GH、EH.求△EGH的面積.

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【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，為棱上的一點(diǎn)，且，為棱的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，若平面，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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(1)證明：；

(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，四面體的體積最大，并求出最大值.

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