Question

已知函數(shù)f（x）=3ax²+2bx+b-a（a，b是不同時(shí)為零的常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，若不等式f（x）＞-

1

3

對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）求證：函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=

1

3

代入，問(wèn)題可化為x²+2bx+b＞0對(duì)任意x∈R恒成立，可得△=（2b）²-4b＜0，解之即可；
（2）易證當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f（x）=3ax²+2bx+b-a的對(duì)稱軸方程為x=-

b

3a

，分①-

b

3a

≤-

1

2

，②-

b

3a

＞-

1

2

借助于零點(diǎn)的存在性定理來(lái)證明即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，f（x）=x²+2bx+b-

1

3

，
問(wèn)題可化為x²+2bx+b＞0對(duì)任意x∈R恒成立，
故可得△=（2b）²-4b＜0，解得0＜b＜1
（2）證：當(dāng)a=0，b≠0時(shí)，f（x）=2bx+b的零點(diǎn)為-

1

2

∈（-1，0），
當(dāng)a≠0時(shí)，二次函數(shù)f（x）=3ax²+2bx+b-a的對(duì)稱軸方程為x=-

b

3a

，
①若-

b

3a

≤-

1

2

，即

b

a

≥

3

2

時(shí)，f（-

1

2

）f（0）=（-

1

4

a）（b-a）=（-

1

4

a2）（

b

a

-1）＜0，
所以函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
②-

b

3a

＞-

1

2

，即

b

a

＜

3

2

時(shí)，f（-1）f（-

1

2

）=（2a-b）（-

1

4

a）=（-

1

4

a2）（2-

b

a

）＜0
所以函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，
綜上可得：函數(shù)y=f（x）在（-1，0）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，涉及分類討論的數(shù)學(xué)，屬基礎(chǔ)題．