Question

甲乙兩人約定以“五局三勝”制進(jìn)行乒乓球比賽，比賽沒有平局，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為

2

3

，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，已知比賽中，乙嬴了第一局比賽．
（I）求甲獲勝的概率；（用分?jǐn)?shù)作答）
（Ⅱ）設(shè)比賽總的局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．（用分?jǐn)?shù)作答）

Answer 1

分析：（I）甲獲勝的情況有兩種：一是第一局負(fù)，此后連勝三局；二是第一局負(fù)，第二局到第四局中兩勝一負(fù)，第五局勝，由此能求出甲勝的概率．
（Ⅱ）ξ=3，4，5，P（ξ=3）=( 1-

2

3

)2=

1

9

，P（ξ=4）=(

2

3

)3+

C

1 2

•

2

3

•(

1

3

)2=

4

9

，P(ξ=5)=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)2+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)3=

4

9

，由此能求出ξ的分布列及期望Eξ．

解答：解：（I）甲獲勝的概率P=(

2

3

)3+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)3=

16

27

（Ⅱ）由題設(shè)知：ξ=3，4，5，
P（ξ=3）=( 1-

2

3

)2=

1

9

，
P（ξ=4）=(

2

3

)3+

C

1 2

•

2

3

•(

1

3

)2=

4

9

，
P(ξ=5)=

C

2 3

(

2

3

)2(

1

3

)2+

C

1 3

•

1

3

•(

2

3

)3=

4

9

∵ξ的分布列為：

ξ	3	4	5
P	1 9	4 9	4 9

∴Eξ=3•

1

9

+4•

4

9

+5•

4

9

=

13

3

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意概率性質(zhì)的運(yùn)用，易錯(cuò)點(diǎn)是忽視乙嬴了第一局比賽這個(gè)前提條件．