Question

若函數(shù)f（x）同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：①f（x）是偶函數(shù)；②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（-x+

π

4

）=f（x+

π

4

），則下列函數(shù)中，符合上述條件的有

 

．（填序號(hào)）
①f（x）=cos4x；
②f（x）=sin（2x+

π

2

）；
③f（x）=sin（4x+

π

2

）；
④f（x）=cos（

3π

2

-4x）．

Answer 1

分析：根據(jù)條件先判斷函數(shù)的一條對(duì)稱軸是x=

π

4

，再利用誘導(dǎo)公式對(duì)選項(xiàng)中解析式進(jìn)行化簡，根據(jù)正弦（余弦）函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱軸方程進(jìn)行逐一判斷．

解答：解：由題意知，函數(shù)的一條對(duì)稱軸是x=

π

4

，
①、f（x）=cos4x是偶函數(shù)，把x=

π

4

代入得，4x=π，則x=

π

4

是函數(shù)的對(duì)稱軸，故①符合條件；
②、f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x是偶函數(shù)，把x=

π

4

代入得，2x=

π

2

，則x=

π

4

不是函數(shù)的對(duì)稱軸，故②不符合題意；
③、f（x）=sin（4x+

π

2

）=cos4x，同①分析，故③符合題意；
④、f（x）=cos（

3π

2

-4x）=-sin4x是奇函數(shù)，故④不符合題意．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦（余弦）函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性的應(yīng)用，需要先通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，考查了分析問題和解決問題的能力．