解:(1)由題意化簡(jiǎn)可知,函數(shù)
φ=2Acosωx(sinωxcosφ+cosωxsinφ)-Asinφ
=A(sin2ωxcosφ+2cos
2ωxsinφ)-Asinφ=A(sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ)=Asin(2ωx+φ),(4分)
且A=2,
=
,∴ω=π.
將點(diǎn)P(
,2)代入 y=2sin(πx+φ)可得:sin(
+φ)=1,∴φ=2kπ+
,k∈z.
考慮到
,所以
,于是函數(shù)的表達(dá)式為 f(x)=2sin(πx+
). (6分)
(2)由 πx+
=kπ+
k∈z,解得x=k+
.
令
≤k+
≤
,解得:
≤k≤
. 由于k∈z,所以k=5.
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間
上存在對(duì)稱軸,其方程為x=
. …(10分)
分析:(1)由題意利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)可得函數(shù)f(x)的解析式為 Asin(2ωx+φ),根據(jù)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)求出A,據(jù)函數(shù)的周期性求得ω,把點(diǎn)代入求得 φ 的值.
(2)由 πx+
=kπ+
k∈z,解得x=k+
.令
≤k+
≤
以及k的性質(zhì),解得k的值,從而得出結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算,正弦函數(shù)的對(duì)稱性,屬于中檔題.