Question

【題目】已知函數(shù)，，m，nR.

（1）當(dāng)m＝0時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）當(dāng)n＝0時(shí)，函數(shù)在(0，)上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；

（3）當(dāng)n＞0時(shí)，判斷是否存在正數(shù)m，使得函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)有極大值﹣1，無極小值;（2）m的取值范圍為{0};（3）存在正數(shù)m，使得函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，詳見解析.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用研究函數(shù)的單調(diào)性，由此求得函數(shù)的極值.

（2）當(dāng)時(shí)，由或恒成立，將分成，，和四種情況進(jìn)行分類討論，由此求得的取值范圍.

（3）設(shè)為相同的零點(diǎn)，由此得到，進(jìn)而得到①，②.通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，證得①②能同時(shí)成立，由此證得存在符合題意的正數(shù).

（1）當(dāng)m＝0時(shí)，，

∴，令，解得x＝1，列表如下：

x	(0，1)	1	(1，)
	＋	0	－
	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減

∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有極大值﹣1，無極小值；

（2）當(dāng)n＝0時(shí)，函數(shù)

∴，

要使函數(shù)在(0，)上為單調(diào)函數(shù)，

則對(duì)(0，)，或恒成立，

令，或恒成立

①當(dāng)0＜m＜2時(shí)，(0，)(，)時(shí)，，(，)時(shí)，，不符題意；

②當(dāng)m＜0時(shí)，(0，)(，)時(shí)，，(，)時(shí)，，不符題意；

③當(dāng)m≥2時(shí)，(0，)時(shí)，，(，)時(shí)，，不符題意；

④當(dāng)m＝0時(shí)，，此時(shí)恒成立，

函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞減，符合題意，

綜上所述，m的取值范圍為{0}；

（3）∵函數(shù)與有相同的零點(diǎn)，不妨設(shè)為相同的零點(diǎn)

則，

得①，②，

由（1）知，故，

∴，

令，

又，，

故當(dāng)(1，n＋3)時(shí)，，②式有解，且能滿足，

∴存在正數(shù)m，使得函數(shù)與有相同的零點(diǎn).