Question

【題目】如圖，菱形與等邊所在的平面相互垂直， ，點E，F分別為PC和AB的中點．

（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（I）設(shè)的中點，連結(jié)和，由中位線定理可得，從而四邊形為平行四邊形， ，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（Ⅱ）由為等邊三角形得，由四邊形為菱形，可得，從而平面，進而可得結(jié)論；（Ⅲ）根據(jù)“等積變換”可得，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，∴為三棱錐的高，根據(jù)棱錐的體積公式可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）取PD的中點G，連結(jié)GE和GA，

則， ∴

∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴

∵平面PAD,EF平面PAD

∴EF∥平面PAD

（Ⅱ）取中點，連結(jié)，

因為為等邊三角形，所以．

因為四邊形為菱形，所以，

又因為，所以為等邊三角形，

所以．

因為，所以平面，

因為平面，所以．

（Ⅲ）連結(jié)FC，∵PE=EC，∴

∵四邊形為菱形，且，

∴

∵平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，

∴為三棱錐的高．

∴，

∴．

∴

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.