Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本（即固定投入）為0.5萬元，但每生產(chǎn)一百臺，需要新增加投入2.5萬元．經(jīng)調(diào)查，市場一年對此產(chǎn)品的需求量為500臺；銷售收入為R（t）=6t-

1

2

t²（萬元），（0＜t≤5），其中t是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百臺）．
（說明：①利潤=銷售收入-成本；②產(chǎn)量高于500臺時，會產(chǎn)生庫存，庫存產(chǎn)品不計于年利潤．）
（1）把年利潤y表示為年產(chǎn)量x（x＞0）的函數(shù)；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少時，工廠所獲得年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）利潤函數(shù)y=銷售收入函數(shù)R（x）-成本函數(shù)，討論x的大小，利用分段函數(shù)表示出年利潤y表示為年產(chǎn)量x（x＞0）的函數(shù)；
（2）由利潤函數(shù)是分段函數(shù)，分段求出最大值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時對應(yīng)的自變量x的值，比較兩段的最大值即可求出所求．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x≤5時
f（x）=6x-

1

2

x²-0.5-2.5x
=-

1

2

x²+3.5x-0.5（3分）
當(dāng)x＞5時
f（x）=6×5-

1

2

×5²-0.5-2.5x=17-2.5x（5分）
即f（x）=

-0.5x2+3.5x-0.5(0＜x≤5) 17-2.5x(x＞5)

（6分）
（2）當(dāng)0＜x≤5時
f（x）=-

1

2

（x²-7x+1）=-

1

2

（x-

7

2

）²+

45

8

（9分）
∴當(dāng)x=3.5∈（0，5]時，f（x）_max=

45

8

=5.625
當(dāng)x＞5時，f（x）為（5，+∞）上的減函數(shù)
f（x）＜f（5）=17-2.5×5=4.5
又5.625＞4.5（11分）
∴f（x）_max=f（3.5）=5.625
故當(dāng)年產(chǎn)量為350臺時，工廠所獲年利潤最大．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值，同時考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．