Question

【題目】已知橢圓，、分別是橢圓短軸的上下兩個(gè)端點(diǎn)；是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上異于點(diǎn)、的點(diǎn)，是邊長為4的等邊三角形．

（1）寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)R滿足：，．求證：與的面積之比為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義求出，，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）直線的斜率分別為，寫出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)橫坐標(biāo)坐標(biāo)，從而求出直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出，面積比即橫坐標(biāo)之比.

（1）因?yàn)?/span>是邊長為4的等邊三角形，

所以

所以.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線的斜率分別為，則直線的方程為．

由直線的方程為．

將代入，得，

因?yàn)?/span>是橢圓上異于點(diǎn)的點(diǎn)，所以．

所以 .

由，所以直線的方程為．

由 ，得．

所以．