(2013•樂(lè)山一模)已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示,其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
(Ⅰ)證明:BN⊥平面C1NB1;
(Ⅱ)求平面CNB1與平面C1NB1所成角的余弦值;
分析:(Ⅰ)根據(jù)題意,可得BA,BC,BB1兩兩垂直,以BA,BB1,BC分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)、向量,利用數(shù)量積證明NB⊥NB1,BN⊥B1C1,即可證明BN⊥平面C1NB1
(Ⅱ)
BN
是平面C1B1N的一個(gè)法向量
n1
=(4,4,0)
,求出平面NCB1的一個(gè)法向量
n2
=(1,1,2)
,利用向量的數(shù)量積,可求
二面角C-NB1-C1的余弦值.
解答:(Ⅰ)證明:∵該幾何體的正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,
∴BA,BC,BB1兩兩垂直.
以BA,BB1,BC分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.--------------(2分)

則B(0,0,0),N(4,4,0),B1(0,8,0),C1(0,8,4),C(0,0,4).
BN
NB1
=(4,4,0)•(-4,4,0)=-16+16=0
BN
B1C1
=(4,4,0)•(0,0,4)=0
.------------(4分)
∴NB⊥NB1,BN⊥B1C1
又NB1與B1C1相交于B1,∴BN⊥平面C1NB1.-------------------(6分)
(Ⅱ)解:∵BN⊥平面C1NB1,∴
BN
是平面C1B1N的一個(gè)法向量
n1
=(4,4,0)
,------------(8分)
設(shè)
n2
=(x,y,z)
為平面NCB1的一個(gè)法向量,則
n2
CN
=0
n2
NB1
=0
,∴
x+y-z=0
x-y=0

所以可取
n2
=(1,1,2)
.------------(10分)
則cos
n1
n2
=
n1
n2
|
n1
||
n2
|
=
3
3

∴所求二面角C-NB1-C1的余弦值為
3
3
.------------(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,確定平面的法向量.
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32
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