Question

(2009湖南卷理)（本小題滿分13分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，d恒等于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與18之和           

 （Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C；

 （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN長(zhǎng)度的最大值。

Answer 1

 解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則3x-2

由題設(shè)

當(dāng)x>2時(shí)，由①得

  化簡(jiǎn)得 

當(dāng)時(shí)  由①得

  化簡(jiǎn)得                        

故點(diǎn)P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側(cè)部分與拋物線在直線x=2的左側(cè)部分（包括它與直線x=2的交點(diǎn)）所組成的曲線，參見圖1

（Ⅱ）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點(diǎn)都是A（2，），

B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由②知

.                 ④

當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，由③知           

                   ⑤

若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為

（i）當(dāng)k≤，或k≥，即k≤-2 時(shí)，直線I與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn)M（，），N（，）都在C 上，此時(shí)由④知

MF= 6 -     NF= 6 -             

從而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)

由 得 則，是這個(gè)方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 -

因?yàn)楫?dāng)

                  

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。

（2）當(dāng)時(shí)，直線L與軌跡C的兩個(gè)交點(diǎn) 分別在上，不妨設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)上，則④⑤知，

   設(shè)直線AF與橢圓的另一交點(diǎn)為E

      

   所以。而點(diǎn)A，E都在上，且

   有（1）知            

若直線的斜率不存在，則==3，此時(shí)

綜上所述，線段MN長(zhǎng)度的最大值為